números primos

En la anterior entrega de la serie hablamos de la Conjetura de Goldbach, que asegura que cualquier número par mayor que 2 es la suma de dos primos. Aunque aún no se ha podido demostrar, se cree que es cierta. Existe otra conjetura muy famosa sobre los números primos que es la que presentamos hoy.

Conjetura de los primos gemelos

Recordemos (como vimos en el segundo capítulo) que los primos gemelos son aquellos que están separados tan solo por una unidad. Por ejemplo, 11 y 13. Según la conjetura:

Existen infinitas parejas de primos gemelos

Se trata de un enunciado apócrifo, pero que al igual que la conjetura de Goldbach, ha atraído durante años la atención de muchos de los mejores matemáticos.

En la anterior entrega de la serie prometíamos habloar de una de las grandes cuestiones sin resolver de las matemáticas, que está relacionada con los números primos. Como quizá muchos hayáis adivinado, me refería a la…

Conjetura de Goldbach

En 1742, el matemático prusiano Christian Goldbach le propuso a su homólogo Euler la siguiente conjetura:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos

Euler contestó que lo consideraba como un teorema completamente cierto, pero que no podía probarlo… ni nadie lo ha logrado hasta hoy. Por eso, sigue siendo una conjetura.

Tras una semana de ausencia, llega una nueva entrega de la serie sobre números primos. Hoy hablaremos de algoritmos para extraer, de forma gráfica, todos los números primos por debajo de un umbral dado.

Esta vez no habrá densos teoremas ni fórmulas matemáticas, ya que se trata de dos algoritmos muy sencillos y antiguos: la Criba de Eratóstenes y la Criba de Euler. En algunos textos se usa la expresión ‘tamiz’ o ‘filtro’ en vez de ‘criba’. Viene a ser lo mismo.

La Criba de Eratóstenes

Se trata de un algoritmo eficiente para calcular los primos hasta el orden de 10⁷ (es decir, diez millones). Su filosofía es muy sencilla, se basa en ir tachando los números compuestos hasta que en un momento dado podemos garantizar que todos los que quedan son primos.

Nuestro anterior post hablaba de la distribución de los números primos, en concreto, del Teorema de los Números Primos, que nos da una idea de con qué frecuencia aparecen.

Como lo prometido es deuda, en esta ocasión toca hablar de propiedades curiosas de la distribución de los números primos. Y es que, a veces, colocándolos de una forma determinada, pasan cosas sorprendentes.

La espiral de Ulam

El matemático polaco Stanisław Ulam descubrió esta espiral de casualidad. Aburrido durante una conferencia, empezó a organizar los números naturales en una espiral, empezando con el número uno en el centro, tal y como se muestra en la imagen. Después, rodeó con un círculo todos los números primos, y observó un hecho sorprendente.

Tras el breve paréntesis del puente, retomamos nuestro monográfico sobre los números primos. En la primera entrega mencionábamos una cita de Don Zagier en la que afirma que los números primos muestran una asombrosa regularidad, hay leyes que gobiernan su comportamiento y que ellos obedecen con precisión casi militar.

Esta idea no concuerda muy bien con lo que hemos visto hasta ahora. Los números primos tienen un comportamiento errático, no obedecen a fórmulas matemáticas específicas y su aparición es impredecible. Sin embargo, su distribución sí se ajusta a determinados patrones.

El Teorema de los Números Primos

Este teorema no nos permite adivinar qué números son primos, pero sí nos permite estimar cuántos números primos hay por debajo de cierto número, o en un determinado intervalo. Para ello, definimos la función π(x) = {cantidad de números primos por debajo de x}. Por ejemplo, π(12) = 5, ya que hay cinco primos menores que 12 (2,3,5,7,11).

Ya en la anterior entrega hablamos de distintos tipos de números primos con determinadas propiedades matemáticas, y hoy seguimos haciéndolo pero desde un punto de vista más informal. En este artículo veremos que los números primos a veces se comportan de una manera muy curiosa… y que algunos matemáticos tienen demasiado tiempo libre ;)

Como nota matemática, y atendiendo a los comentarios del post anterior: las propiedades que veremos a continuación son, en general, sólo válidas usando la base decimal (mientras que las del post anterior eran universales, un primo de Mersenne siempre lo es independientemente de la base utilizada). En otras bases, también pueden existir primos que cumplan las siguientes propiedades, pero serán otros.

‘Omirps’

Se trata de números primos que al darles la vuelta se convierten en otro primo distinto. O por llamarlos de alguna manera, ‘primos reversibles’. Al margen de los primos de una sola cifra, los siguientes en la lista son 13 / 31, 17 / 71 y 37 / 73. El ‘omirp’ más grande que se conoce es 10¹⁰⁰⁰⁶+941992101×10⁴⁹⁹⁹+1, con más de 10.000 cifras.

Continuamos hablando de números primos. En el post anterior vimos su carácter aleatorio. Aparecen aquí y allá sin que alguien pueda predecir dónde. No hay una fórmula conocida que nos devuelva siempre números primos, y de hecho, se debe verificar computacionalmente si los posibles ‘candidatos’ a número primo realmente lo son.

Sin embargo, hay ciertos números primos que siguen determinadas fórmulas matemáticas. (Ojo, esto no quiere decir que todos los números que siguen dichas fórmulas sean necesariamente primos). En algunas ocasiones, esto implica curiosas propiedades matemáticas, como veremos a continuación.

Primos de Mersenne

Un número de Mersenne es de forma N = 2^p – 1, donde p es primo. No todos los números de Mersenne son primos, de hecho, sólo se conocen 47 primos de Mersenne. Sucede algo interesante: los nueve mayores números primos que se conocen son de Mersenne. ¿Por qué?

Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que les quiero convencer de una forma tan contundente que quede grabada en sus corazones. El primero es que [...] los números primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, aparentemente sin obedecer ninguna ley a parte del azar, y nadie puede predecir dónde florecerá el siguiente. El segundo hecho es todavía más sorprendente, ya que implica exactamente lo contrario: los números primos muestran una asombrosa regularidad, hay leyes que gobiernan su comportamiento y que ellos obedecen con precisión casi militar.

Don Zagier.

El estudio de los números primos es uno de los campos que más ha apasionado a los grandes matemáticos de la Historia. De caracter aparentemente impredecible, lo cierto es que los primos obedecen muchas leyes y aparecen en muchos teoremas matemáticos. Sin embargo, sólo con los ordenadores más potentes del mundo se puede seguir prediciendo qué números son primos y cuáles son compuestos.

Euclides enunció hace más de dos milenios el teorema que lleva su nombre y que establece que hay infinitos números primos. La prueba del Teorema de Euclides es muy sencilla:

Una lista de sencillas reglas a tener en cuenta de tests de divisibilidad que nos ayudarán a comprobar la primalidad de un número. Un número natural es divisible por…

• 2: Si el número es par


• 3: Si la suma de sus dígitos es divisible por 3


• 4: Si los dos últimos dígitos es un número divisible por 4


• 5: Si el último dígito es 5 o 0


• 6: Si el número es par y divisible por 3


• 7: Si al suprimir la cifra de las unidades y restar del número que queda el doble de la cifra suprimida queda un número multiplo de 7


• 8: Si el número es divisible por 4 y el resultado es par


• 9: Si la suma de sus dígitos es divisible por 9


• 10: Si el último dígito es 0


• 11: Si el valor absoluto de la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma de las cifras de lugar impar

Sacado de Prime Number Determiner