Vía | Gaussianos

Nota: Se recomienda no mirar los comentarios e intentar resolverlo, ya que el problema ha sido resuelto
Resuelto por:
Palafox
Jiuck
juanki
Dios
Enrique
Ramón
Isabel Aguilera

Otros records en su poder se refieren a la multiplicación. Ni con los métodos gráficos podría acercarme ni tan siquiera al triple de tiempo conseguido por Alberto, que es capaz de multiplicar dos números de ocho cifras en menos de un minuto, ni más ni menos en 56,50 segundos. El último hito conseguido ha sido el de multiplicar dos números de cinco cifras en 18 segundos. En gaussianos están los enlaces a las noticias del intento y de la confirmación del récord. La verdad, me asombran las capacidades de determinadas personas, tanto a nivel de memoria como de habilidad de cálculo y rapidez mental…

Vía | Gaussianos
Más información | Web de Alberto Coto

Una curiosa peculiaridad aparece cuando llegamos a la siguiente cuestión: ¿Cuál es la longitud del mayor segmento que cabe dentro de un cubo y dentro de una esfera?. En una esfera siempre el mayor segmento tendrá que pasan por el punto de origen, es decir, el centro. La longitud de dicho segmento será el diámetro, que equivale a la longitud de dos veces el radio (distancia euclídea desde el centro hasta cualquier punto perteneciente a la superficie). Partiendo de la definición de esfera, en cualquier dimensión del espacio el mayor segmento que cabría dentro tendrá que pasar por el centro y tendrá la longitud doble al radio (diámetro).

Sin embargo con el cubo no ocurre lo mismo. El segmento mayor que cabe en un cuadrado es su diagonal. Si representamos el cuadrado como un grafo G=(V,A), tendremos que la diagonal es el segmento que une a dos vértices pertenecientes a G tal que no estén conectados por ninguna arista A. El ángulo que forma la diagonal con cualquier lado de longitud L es de π/4 (45º). Si queremos obtener la longitud de la diagonal solamente debemos de hacer uso de una razón trigonométrica: D = cos(π/4) * L = √2 * L. Por lo tanto para cualquier cuadrado su diagonal será √2 veces la longitud de un lado L. Si nos vamos a tres dimensiones, obtendremos un cubo. La longitud de la diagonal de un cubo es igual a √3 veces la longitud de un lado. Si nos vamos a n dimensiones, la longitud de la diagonal será igual a √n veces la longitud de un lado y por lo tanto en en un espacio de infinitas dimensiones cabe dentro una recta infinita.

Referencias | Wikipedia.org

Vía | Gaussianos

El subespacio vectorial L es generado por 3 funciones: L = {u₁,u₂,u₃}

Para resolver el problema planteamos un sistema lineal de la siguiente forma, dónde ß será un vector cuyo elementos se formarán a partir del producto escalar de la función a aproximar (f(x)) y cada elemento del subespacio L (u_i(x)), G será la matriz de Gram asociada a ß y el vector y(x) será la solución al sistema (la aproximación a f(x) que buscamos):

Empezamos a calcular ß:

Procedemos a calcular la matriz G realizando los productos escalares pertinentes:

Tras el calculo de ß Y G obtenemos el siguiente sencillo sistema matricial que se puede resolver directamente usando métodos tradicionales de sistemas de ecuaciones (transformaciones elementales de filas, sustitución, igualación, ...)

La solución que obtenemos al resolver el sistema es: y₁ = – 7/6, y₂ = 1 y y₃ = 1. Por lo tanto la función polinómica que aproxima a f(x) = x² – 1 es y(x) = (-7/6) + |x|, o lo que es lo mismo la función definida a trozos:

Podemos reescribirlaa como

Ahora suponemos que queremos considerar

Eliminando m_m de n operadores P⁽ⁱ⁾, i = 1,..., n, y siendo E_mn = I como antes, podemos obtener n-1 operadores Q⁽ⁱ⁾(E_mn, m₁,..., m_n-1), i = 1,...,n-1, que eliminan a. Por lo tanto a es holonómica en todas sus variables. Continuando, podemos ver que sumando una función holonómica con algun subconjunto de sus variables resulta una función holonómica.

Referencias | Wikipedia
Referencias | M.Petkovšek, H.Wilf, A=B, 1997