Quiz Genciencia: Infinitos
Es una pregunta simple: ¿Existen infinitos más grandes que otros?
Estas cuestiones despertaron el interés de grandes mentes, desde Arquímedes hasta Russel. Lo que os propongo es reflexionar un poco sobre la posibilidad de que existe efectivamente un infinito “mayor” o “menor” que otro.
La respuesta será dada la próxima semana.
Actualización 6 de Junio: está disponible una “pequeña” ayuda en este post. La respuesta definitiva será dada la semana que viene.
Actualización 11 de Junio: Se encuentra disponible la solución.
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Si, pues, por ejemplo, el infinito de los números naturales es más pequeño que el de los enteros, siendo ambos infinitos.
Si, pues el conjunto de los números naturales es más pequeño que el de los números enteros, siendo ambos infinitos
No porque infinito no un numero que pueda medirse por lo tanto no hay infinitos mas grandes que otros.
Cualquier número tiene su igual con número negativo. Uno y el otro hacen dos números. Es decir, +infinito y -infinito darán lugar a infinito(R) que será el doble de grande que esos infinitos, aunque parezca ironico xD
En teoria si, pero en realidad no… el infinito es unico, sea grande o pequeno es infinito
En el ejemplo de los naturales y enteros, quizá se cometa un error de concepto: no es que el infinito de los números naturales sea menor al de los enteros, es que el conjunto de los números naturales es menor porque contiene menor número de elementos, en pocas palabras, podemos empezar a contar los elementos de cada conjunto y siempre tendremos el doble de enteros que de naturales (por existir 1 y -1, 2 y -2, etc), aunque nunca terminemos de contarlos. Esto no justifica que un infinito sea más grande que otro. Ahora, a la pregunta original: en mi opinión, no hay infinitos más grandes que otros.
Saludos.
Se refieren, por ejemplo:
¿A la cantidad de números fraccionados dentro del 1 y el 2, como menor a la cantidad de números fraccionados dentro del 1 y el 3?
¿Es una cantidad infinitamente menor una de la otra?
Una muy buena pregunta… Habría que hacersela a Dios… jajaja. Intuitivamente uno diría que sí… pero en la práctica…
Normalmente infinito aparece como resultado de operaciones con series de valores (en adelante para este texto valores) que tienden a un número (o sea, que son casi casi ese número, pero no lo llegan a ser).
La versión abreviada es que ya que ningún valor o serie de valores llega a ser nunca igual a infinito porque ningún valor puede ser igual a infinito (sino que se aproxima a él), no hay infinitos más grandes que otros.
La respuesta más enrebesada… Por ejemplo, si x->0 (x "tiende a" cero, o sea, si es "casi" cero), entonces y=1/x "tiende a" infinito, pero NO ES IGUAL a infinito. 1/x con x=0 no tiene solución (o sea 1/x NO es igual a infinito).
Lo de que se hable de distintos ordenes de magnitud de infinito viene de que si y tiende a infinito, y y*y (o y+y o y^y u otros muchos ejemplos) es mayor que y, entonces tenemos que y*y tiende a un infinito más grande (infinitas veces infinito).
Mi opinión es que no hay que olvidar que y NO es infinito, sino que tiende a infinito, y que y*y también tiende a infinito, yo creo que ambos y o y*y, incluso y^y tienden al mismo infinito.
Al fin y al cabo infinito NO es un número, sino una idea, un sustituto de decir, que si yo tengo un número siempre puedes encontrar uno más grande. La idea es única.
De hecho si xa->0 y xb->0 ahí va otra pregunta: si sabemos que 0-0=0 (cero menos cero es cero) y x-x=0, entonces que pasa si hacemos xa-xb o bien (1/xa)-(1/xb), aunque 1/xa o 1/xb tiendan a infinito o xa o xb tiendan a cero, no podemos decir que ninguna de las dos operaciones resulten cero salvo que digamos que xa=xb.
Así que en resumen, ya que ningún valor puede ser infinito, sino tender a él, no tiene sentido decir que hay infinitos más grandes que otros, sino decir que hay valores enormes, qu
Si, es como cuando resolvemos la indeterminacion en limites de infinito partido infinito (con derivacion utilizando el teorema de lopital o por cocientes con un grado mayor)
Aunque quizás aqui se deba a cocientes y elementos abstractos por lo que ¡huy que fallo!
xD
Definitivamente es un poco lío el tema porque infinito es algo "no numérico" (eso creo yo).
Infinito no es un número, es "una tendencia a no tener fin".
No estoy muy seguro, pero apostaré a que sí puede haber infinitos mayores que otros. Un ejemplo:
Yo tengo un hotel de infinitas habitaciones. Llega un autobús de infinitos pasajeros y cada uno se va a una habitación.
Todas las habitaciones, aparentemente, están ocupadas.
Pero llega otro autobús con infinitos pasajeros, en un principio "no tenemos habitaciones libres", pero no es cierto: si pido a cada inquilino que se traslade a la habitación de número igual al cuadrado en la que se encuentra (1-pasa a->1, 2-pasa a->4, 3–>9, 4–>16, 5–>25, etc) resulta que tendré infinitas habitaciones libres y los nuevos turistas sí tendrán una habitación cada uno.
Siendo el número de habitaciones mayor que el número de ocupantes, a pesar de ser ambos infinitos. El infinito de las habitaciones tiende a tener menos fin que el infinito de los pasajeros.
No hay un infinito más grande que otro porque no hay más de un infinito. Infinito no es un número, es un concepto.
Y realmente, lo importante no es qué es más grande; lo importante es qué crece más rápido. Por ejemplo, x es una función creciente que tiende a infinito, y e^x también. ¿El infinito de e^x es más grande que el de x? Ambos son infinitos. Lo importante es que e^x crece mucho más rápido, por eso decimos que "es mayor".
la unica forma de k un infinito sea mayor ke otro, en mi opinion, es k tenga el signo "-" delante, es decir , infinito > - infinito. fuera de ahi, infinitos del mismo signo siempre seran iguales, puesto k infinito no es un numero, y si no es un numero no puede ser mayor k otro infinito. otra cosa es cuando un numero "tiende" a infinito, komo pasa en los limites, ai la cosa cambia ya k si estamos ablando de numeros kon los kuales si se pede operar.
el infinito no es un número, es un límite, una tendencia.
Nunca podría haber algo que tendiese a un infinito más allá que otro infinito…
2 x infinito = infinito
infinito^1000 = infinito
infinito/1000 = infinito
Pero la diferencia entre +infinito y - infinito es el sentido que tienen, el punto de vista, en realidad los dos son infinito. En la pregunta yo prefiero no jugármela porque no sé mucho de matemáticas pero estoy de acuerdo con muchas de las respuestas que ya se han dado, que infinito es inifinito, no está cuantificado, no se puede medir y no podemos decir que uno es más grande que otro.
Sí, existen infinitos mayores que otros. Lo demostró el gran matemático Georg Cantor en su teoría de los números transfinitos.
Los números naturales y los enteros (incluso los racionales) son infinitos del mismo tamaño. Esto parece ir contra la lógica. Si los naturales son 1, 2, 3, … y los enteros incluyen a los naturales más los negativos (-1, -2, -3,…), los enteros deberían ser más (el doble, como ha comentado alguien) pero no es así.
Cantor encontró un medio de comparar conjuntos infinitos: emparejar sus elementos. Si todos los elementos de un conjunto infinito se puede emparejar con los de otro, es que son iguales.
Los números naturales y los enteros pueden emparejarse unívocamente, por tanto, son conjuntos de igual tamaño, e infinitos.
De hecho, hay tantos números pares como impares (esto parece lógico), pero también tantos pares (o impares) como naturales (o enteros), porque pueden emparejarse.
Si aceptamos esto, puede parecer que cualquier conjunto infinito será del mismo tamaño que el de los números naturales (tamaño que Cantor llamó Aleph-0). Pro el propio Cantor demostró que no es así.
Los números irracionales (como la raíz de 2, o "pi") son más numerosos que los naturales. Cantor lo demostró con el método de diagonalización, que es muy secillo y fácil de entender, pero largo para explicar aquí. Los números irracionales tienen un tamaño Aleph-1: un infinito mayor que Aleph-0.
Cantor llegó a demostrar que podía seguir encontrando conjuntos infinitos aún mayores (Aleph-2, 3, etc) mediante potenciación.
Las teorías de Cantor llevan a algunas curiosas contradicciones y a teoremas imposibles de demostrar (ni de refutar), pero gracias a él, sabemos que no todos los infinitos son iguales.
estoy con #13 y mi respuesta es no, no hay infinitos mas grandes que otros
No. Infinito solo implica ausencia de final.
Todos los infinitos cumplen ese requisito, ergo no existe diferencia de infinitos.
d.
No creo que pueda existir un infinito mayor que otros, porke simplemente son infinitos, si un numero infinito es positivo cuando lo pongan al lado de un negativo seria 0. Por lo tanto no creo que pueda haber un infinito mayor que otro, ya que los 2 son infinitos.
Yo creo que no. Como se ha comentado es un concepto, no un número.
Por cierto, he contado 3 veces hasta infinito y no es para tanto…
El infinito es absoluto, y aunque pueda operarse con él como valor, éste permanece constante. Puede dividírsele, pero su valor no cambiará. No puede tratarse al infinito como una constante o variable normales, porque en una ecuación no se verá afectado.
Loool no leyeron 16, se demostro matematicamente que existen infinitos mas grandes que otros, Cantor fue uno de los mas grandes matematicos de la historia y uno de los mas admirados gracias a sus teorias sobre los numeros infinitos.
La etimología de la palabra infinito nos dice que es aquello que no tiene fin, o aquello que siempre tendrá algo que le sea mayor en su característica.
Aferrándonos a esta etimología, se podría llegar a esta conclusión:
· Los numeros naturales (1, 2, 3, 4, …, n+1) sin infinitos, ya que no tienen fin.
· Los números enteros ( [-(n+1)], …, -2, -1, 0, 1, 2, …, n+1) no son infinitos, ya que además de no contar con un final, no cuentan con un principio, y no se seguirían con la definición del concepto… Podríamos decir que los puntos que forman un círculo son infinitos? No, porque si dibujamos un círculo más grande, deberíamos tener una mayor cantidad de puntos para formarlo…
Creo que con ese planteamiento algunas aseveraciones ya planteadas quedarían desacreditadas, pero es cuestión del leyente el guiarse por la simple etimología de la palabra o no.
Aunque las teorias de Cantor parecen lógicas, yo sólo le encuentro sentido si se tienen en cuenta los elementos de cada grupo, entonces si que se pueden classificar los infinitos, pero cogiendo el concepto como tal, todos los infinitos serán iguales pues son aproximaciones a un valor inalcanzable.
Creo que esta pregunta no es valorable por alguien finito. Se lo deberíamos preguntar a alguien que sea infinito y pueda darnos luz sobre este tema. ¿Conoceís a alguien?
de entrada el concepto de infinito es inventado por el ser humano asi que cualquiera de las respuestas me parece algo totalmente subjetivo. Siempre me han dicho que si, por como bien deciis lo de los naturales na na na. Para mi algo infinito es algo incuantificable.
El tema está en que el "número" infinito no es algo que se pueda imaginar.
Si por ejemplo pensarámos en un número terriblemente grande, no sé de mil 500 millones de cifras, dejaríamos en evidencia su carácter finito. Es algo así como que infinito está todavía más lejos de algo que puedas imaginar.
Así que, si infinito, como dicen por ahí arriba, es una concepto que define el "no tener fin" no creo que tenga mucho sentido situarlo hacia un sitio o hacia otro (+ ó -), porque no por ello uno va a estar más cerca "de lo imaginable"
Estoy de acuerdo con Arandur: existen infinitos más grandes que otros. Cantor demostró que el tamaño del conjunto infinito de números naturales es menor que el tamaño del conjunto infinito de números reales, y los llamó respectivamente aleph-0 y aleph-1.
Aleph-0 es el menor conjunto infinito que puede existir. Todos los conjuntos que tienen tamaño aleph-0 se llaman numerables, por estar en biyección con el conjunto de los números naturales.
Por encima del conjunto de números naturales existen conjuntos que ya no son numerables, y cuyo cardinal (el conjunto de elementos que contiene) es mayor que el de los números naturales.
La forma de construir estos números (llamados cardinales) es contando todos los posibles grupos que puede haber de números naturales (que coincide con el de los números reales), y que resulta ser aleph-1. Se puede demostrar que aleph-1 = 2 ^ aleph-0.
Si aplicamos esto recursivamente, es decir, contamos el tamaño de todos los grupos de todos los grupos, etc., de números naturales vamos construyendo aleph-2, aleph-3, y así sucesivamente, cada uno más grande que el anterior.
Lo que se sospecha, pero está por demostrar, es que no existe ningún conjunto intermedio entre aleph-0 (el tamaño del conjunto de números naturales) y aleph-1 (el tamaño del conjunto de números reales), y se conoce como hipótesis del continuo.
si , cuando estudie limites habia veces q habia infinitos mas grands q otros
Yo creo que si, si haces la división 2i/i (dónde i un infinito, que no lo puedo escrivir con el teclado).
2i/i = i/i = 2
Es decir, la primera i es infinito, pero al estar multiplicado por dos es mas grande que la i de abajo, pero ambos siguen siendo infinitos.
Lo mismo pasa si elevas infinito al cuadrado, como mayor es el exponente, mayor es el infinito, que seguirá siendo infinito, pero mayor que un infinito de grado inferior.
No sé si me explico…
Hola, no existen infinitos mayores que otros.. o es infinito o no lo es.
Un ejemplo para los numeros naturales y enteros es que es posible hacer una funcion 1-1 entre estos dos conjuntos, esto es, para cada numero unico de los naturales le corresponde un numero unico de los enteros y viceversa. Esto mismo puede hacerse con los numeros Reales (R) con el plano (R2) o inclusive de R -> RN
Saludos
En mi opinión, refiriéndome a los primeros comentarios que se hicieron, tengo entendido que el que un infinito sea más grande que otro no implica que los conjuntos posean una cardinalidad mayor. Por eso, igual es complejo imaginarse que se hable de un infinito más grande que otro, pero si la memoria no me falla, sí existen. Ojalá publiquen pronto la respuesta, tengo esa gran duda.
Pues yo creo que no, que solo hay un infinito y que los difebretes infinitos que aqui se comentan se diferencia en la velocidad a la que se llega a ellos.
La verdad me causa gracia, personas que parecen saber algo de matematicas, dicen que las diferencias en los infinitos no pueden ser posibles. Entonces pienso, debe ser por que ellos creen saber mas que las personas que han desarrollado la matematica hasta ahora. Algo que me gusta mucho de la matematica es que es una ciencia que se ha hido costruyendo a traves de los tiempos y si algo se demuestra es una verdad absoluta. Por lo tanto no se puede discutir, mas que todo en nuestros dias donde el nivel de las matematicas es tan elevado.
Despues desde un punto de vista filosofico o etimologico o lo que quieran si pueden discutir todo lo que quieran, eso se lo deja a ese tipo de personas que les gusta discutir hasta si el agua moja o no, pero para aquellas que como yo, toman la matematica como una directriz para la descripcion de la naturaleza me parece que es claro que existen infinitos mas grandes que otro y si no lo sabian remitirse al trabajo hecho por Cantor hace mas de un siglo.
#17 | Escrito por vicioso | 06 jun 2008 00:01:46
#29 | Escrito por Mike | 06 jun 2008 14:08:35
#35 | Escrito por nAcHo18 | 06 jun 2008 20:59:17
Si, lo que Cantor demostro, es q tomando cualquier subconjunto de un conjunto infinito, este siempre tendra un subconjunto mayor y un subconjunto menor de elementos infinitos… osea existen diferentes numeros infinitos, digamos aleph-0 y aleph-1 pero no necesariamente aleph-0 siempre sera mayor q aleph-1,puede suceder que sean iguales, o q incluso aleph-1 > aleph-0, pues los conjunto infinitos no poseen medida, pero contienen elementos pero estos no pueden ser numerados (una posicion paradojica, pues si no poseen medida, como pueden ser mayores o menores?)
#35 | Escrito por nAcHo18 | 06 jun 2008 20:59:17
si dices q si algo se demuestra matematicamente es una verdad absoluta, entonces creo q deberias mandarte a ver a un doctor… pues con diversos ejemplos podria mostrarte q 0!=0
creo q seria interezante para ti leer a un tal Einstein (por enesima vez; no, einstein no es el de la bomba atomica!!!!)
PD: #22 | Escrito por Dios | 06 jun 2008 05:31:00
ni el infinito es absoluto, otra cosa es q cualquier valor comparado ante el sea despreciado (inclusive infinito!)
#29 | Escrito por Mike | 06 jun 2008 14:08:35
aleph-0 no es el menor conjunto infinito, citando tus mismas palabras te mostraria un conjunto aun mas pequeño que el de los naturales, el de los naturales pares… Cantor indica que siempre existira un conjunto mas pequeño para cualquier conjunto imaginable, y uno mas grande… creo q estas tomando mal el concepto, no te guies del valor cuantitativo, pues al tender al infinito este no existe… mas bien enfocate al valor cardinal (que es como lo trabajo cantor)
#36 | Escrito por tenguman | 07 jun 2008 00:11:16
pues sabes, me parece que estas perdiendo tu tiempo posteando aca, deberias reunir todas esas demostraciones y enviarlas a la comunidad cientifica, ya que eres un genio !!!!, mira que te estas perdiendo de ser el proximo Einstein, que digo Einstein el proximo Gauss.