¿Se puede medir el infinito? (II)

¡Wow! Interesantísima esta serie de artículos sobre el infinito =) creo que con este post me ha quedado mucho más claro el anterior, además xD y empiezo a ver alguna cosa clara...ya me he adelantado y he buscado algo acerca de la hipótesis del contínuo, de la que ya había oído hablar alguna vez pero no tenía ni idea de qué iba. Ahora que más o menos la entiendo gracias a tus dost posts, espero impaciente el siguiente para saber más xD

Estudio Físicas, pero me parece que me tendré que coger algún año de libre elección alguna asignatura sobre Conjuntos, Teoría de Números o algo así...xD

Primer comentario después de largo tiempo leyéndoos, por cierto ^^U

K.

Esto aclara ya algunas cosas del artículo anterior respecto al infinito... y me gusta!!! =D jaja

Podrías hacer un post en el que aparecieran los principales signos matemáticos? (Pi, e, i...)

#1: Bienvenido!! Yo llegué hace unos pocos días ;)

#2 Gracias xD. Los números que mencionas seguro que hace pensar a más de uno en la famosa fórmula de Euler (más bien, una de ellas supongo, jodido Euler...xD): e^(pi^i)+1=0

Estaría bien implantar Latex para poder escribir mates en los comentarios,¿no...? XD

K.

Compartido en facebook! Muy buen post.

puede ser un numero entero/real igual a un numero real de infinitos decimales?, por ejemplo: siempre tuve esta duda.... Si 99 es el 100% de algo, su tercera parte que es 33 (99/3), a que porcentaje corresponde?, queda algo asi como que 33 es igual a 33.3333333333(etc) alguien me lo puede explicar?

Es algo difícil de comprender, pero en este artículo se han dejado las cosas más claras y mejor explicadas que en el anterior. Pero hay una cosa de la que no estoy seguro: ¿Qué quiere decir exactamente el término "número transfinito"? Eso no lo acabo de entender. De todas formas, espero con ganas la tercera parte, a ver si se resuelve todo.

#1: Yo también estoy aquí desde hace muy poco, bienvenido.

Bonito artículo, soy lector desde hace tiempo de Genciencia y me veo obligado a comentar para agradecer el que se halla tratado un tema del que disfruto tanto. Conocía algo sobre el tema, pero desconocía la justificación de la relación entre c y aleph sub cero. Espero ansioso la siguiente parte del post.

3# Una formula preciosa.

5# No se si te entendí muy bien la pregunta, espero que te sirva esto: Si 99 es el 100% de algo, su tercera parte que es 33 no sería igual al número 33.333... ya que obviamente estos son dos números distintos, lo que si sería correcto es decir que 33 es el 33.3333....% de 99 ya que 33.33333.....% de algo es exactamente lo mismo que 1/3 de ese mismo algo y como tu bien dijiste 33 es la tercera parte de 99. Espero haberte aclarado tu duda.

@6 Un número transfinito es un número (ordinal o cardinal) "siguiente" al infinito, es decir, un número mayor que cualquier número natural.

Kya, yo estudio matemáticas y te recomiendo encarecidamente que pruebes las clases de Teoría de Números, hay algunas que son increibles.

#8: Muchas gracias por contestar, pero todavía no lo tengo claro y debo insistir: ¿No se supone que el infinito no tiene fin? Si seguimos este razonamiento, infinito mas 1 es igual a infinito ¿no? ¿Cómo puede existir un número siguiente a otro que no tiene fin?

Yo lo de Pi(bueno, Pi no), e, i y esos número "especiales" les encontré en el libro de Ian Steward: Los ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas =D.

También otra curiosidad es que 0.999... = 1(0.9... indica que es periódico) .

Se me olvidó decir que: i equivale a la ipotética raíz cuadrada de -1 no?

@9 Sería un infinito mayor que el otro, es difícil de ver.

@11 No, eso no existe, i es un número tal que i^2=-1

#11,12 Hombre, si definimos raíz cuadrada de x un número y tal que y^2=x, i sí es la raíz cuadrada de -1. Más bien, una de ellas, siendo la otra -i. Vamos, creo, no quiero contradecir a un matemático xD por supuesto, i se define tal que i^2=-1, pero a partir de ahí, se puede decir que -1 dentro del cuerpo de los complejos tiene dos raíces imaginarias, i y -1, ¿no?

Um, perdón por el offtopic si se considera tal, en cualquier caso ^^U y gracias a todos por la bienvenida xD espero comentar más a menudo, la charla es interesante =)

Ah, bueno, y respecto a la duda que planteaban algunos de los infinitos y tal...nosotros en Física cuando hablamos de infinito, queremos decir "algo muy grande". Por ejemplo, si dices que algo tiende a 0 pasado un "tiempo infinito", quiere decir que, pasado un tiempo suficientemente largo, experimentalmente será indistinguible de cero. Pero en matemáticas purs, como nos han mostrado estos posts, infinito tiene un significado distinto, mucho más abstracto y, por tanto, alejado de nuestra concepción intuitiva de algo "infinito".

K.

9# Creo que te sería mas fácil de ver si en ved de pensar en infinito como en un número que no tiene fin vieses infinito como la cantidad de elementos en un tipo de conjunto especial, un conjunto dentro del cual exista algún subconjunto (conjunto formado por tan solo unos cuantos elementos del conjunto "principal") que tenga la misma cantidad de elementos que el conjunto "principal". La forma de comprobar si hay tantos elementos en un conjunto como en otro está explicada en el primer post de "¿Se puede medir el infinito?". Viendo el infinito de esta forma basta comprobar que existen conjuntos con estas características con más elementos unos que otros como se explica en estos posts, y de esta manera ya tienes unos infinitos mayores unos que otros.

8# Kubata yo también estudio matemáticas, no sabrás por casualidad alguna asignatura del plan Bolonia (en el que estoy) en la cual se explique Teoría de Números con detalle? realmente es un tema que me atrae bastante.

Muchas gracias a todos por las respuestas, ya me he enterado perfectamente. Ahora ya lo veo con más claridad. Es un tema muy interesante, ojalá venga pronto la tercera parte.

Por cierto, creo que en los institutos debería existir alguna asignatura que explicara cosas más teóricas de las matemáticas: su historia, sus fórmulas, y sobre todo sus personajes más famosos. Si tú coges a alguien que se haya quitado de estudiar al acabar secundaria y le preguntas quién es Cristóbal Colón o los Reyes Católicos, acierta. Pero si le preguntas quién es Euler o Gauss, se queda en blanco.

Ignacio como siempre, genial. Votado y que los números nunca nos abandonen AMEN.

#14 En Bolonia tienes varias opciones, dependiendo del intinerario, si es Matemáticas puras, Teoría de Números la separan en varias clases, si es otra rama, siempre la tienes como optativa o troncal.

#12 Perdón por no poder contestar antes, sí, por supuesto, es lo mismo (si te refieres como raíces i y -i ), pero por definición (trad. porque un tio más listo que nosotros [Euler en este caso] dijo "Se hace así porque me sale de x".)Es decir, por consenso se utiliza i como un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.

Bien, acabé con este tema, entiendo los razonamientos, pero reniego de suponer que entre dos cosas que no tienen fin, pueda una ser más infinita que otra.-

Creo que es una (in)utilidad matemática.-

Así la cardinalidad sea Infinito:1 ambos conjuntos serían infinitos.-

Es más, creo que hablar de cardinalidad es a efectos prácticos, inútil tratándose de conjuntos infinitos.-

Si China, tuviera infinitos habitantes, tendría una densidad poblacional de Infinitos Habitantes por kilómetro cuadrado en sus 9.596.960km².-

Si Japón tuviera Infinitos Habitantes, su densidad sería de Infinitos Habitantes por kilómetro cuadrado en sus 377.835 km².-

Ahora dejemos a un lado los infinitos y hablemos de transfinitos.-

Si Cantor viviera y se pasase por aquí, le preguntaría lo siguiente:

Dado que China y Japón tienen ℵ0 hab/km² (No estoy seguro que en el comentario, me acepte el aleph cero) y China tiene más km² los "Transfinitos" habitantes Chinos son más que los "transfinitos" habitantes del japón.-

Por tanto, ¿Cuál sería la densidad de población de China y de Japón si ambos tuvieran ℵ0 habitantes?

Si me respondiera que ambos seguirían teniendo los mismos habitantes por kilómetro cuadrado , creo que no queda más que decir y esto del infinito más grande, es una tontería de aquí a Kandor (capital de Krypton)

Si me respondiera que son ℵ0/9.596.960 y ℵ0/377.835, le preguntaría cuánto es eso.-

Si me responde que infinito, volvemos a empezar.- XD

Creo que me mudaré a Kandor.-

17# Muchas gracias por la información, ya comprobaré cuales son esas asignaturas en cursos sucesivos.

18# Lo siento heygonza, pero no estoy de acuerdo con tu razonamiento. Cuando dices "Dado que China y Japón tienen ℵ0 hab/km² (No estoy seguro que en el comentario, me acepte el aleph cero) y China tiene más km² los "Transfinitos" habitantes Chinos son más que los "transfinitos" habitantes del japón" creo que te equivocas al decir que China tiene más habitantes por tener más km². Permíteme intentar demostrártelo: Para probarlo supongamos con objetivo de simplificar la explicación que China tiene 2km² y Japón 1km² (es ridículo, pero el argumento usado en la demostración con los km² correctos sería similar). Si ponemos pues que ambos países tengan una densidad de población de ℵ0 hab/km² podremos afirmar que la cantidad de habitantes de China será ℵ0*2 (siendo * el signo de la multiplicación) y los de Japón serán ℵ0*1 (es decir ℵ0, obviamente). Con lo que ahora basta probar que ℵ0*2=ℵ0 para ver que (con estas hipótesis) China y Japón tienen la misma cantidad de habitantes. Para probar dicha igualdad se puede usar una de las relaciones "uno a uno" de las que se habla en el primero de estos posts, esta relación relacionaría un conjunto con ℵ0 elementos (como es el de los números naturales) con un conjunto con ℵ0*2 elementos (como es el formado por los números naturales junto con los negativos, es decir los enteros, ya que puede verse que hay un negativo por cada positivo). Y esta relación justamente se encuentra en el primero de estos posts. Como vemos pues tenemos un conjunto con ℵ0 elementos y otro con ℵ0*2 elementos, pero sus elementos se pueden relacionar uno a uno por lo que necesariamente tienen que tener la misma cantidad de elementos. Por lo tanto no hay más remedio que concluir con que ℵ0=ℵ0*2. Es más, con esta demostración también se puede responder a la pregunta que planteas a continuación "Por tanto, ¿Cuál sería la densidad de población de China y de Japón si ambos tuvieran ℵ0 habitantes?": Pues la misma densidad de habitantes (ℵ0 hab/km²), ya que, con las suposiciones que usamos anteriormente, ambos tenían ℵ0 habitantes al tener ℵ0 hab/km². Y debido a que esta respuesta no contradice ninguna de mis afirmaciones anteriores no veo que tenga sentido lo de que "Si me respondiera que ambos seguirían teniendo los mismos habitantes por kilómetro cuadrado , creo que no queda más que decir y esto del infinito más grande, es una tontería de aquí a Kandor (capital de Krypton)".

Pido disculpas si me extendí demasiado, pero quería exponer mi opinión con algo de detalle.

No viene a cuento, pero, ¿cono se desactivan las cursivas? Quería poner trozos en cursiva, pero luego se me quedaba todo con ese tipo de letra...XD

#19, pues mi comentario solo buscaba llegar a ese punto y que alguien me respondiera lo que tu.-

Ahora, gracias a que lo has hecho, puedo continuar (xD perdóname por ello.-).-

Y digo, entonces aún teniendo la misma cantidad de población por kilómetro cuadrado y teniendo uno más kilómetros que otro, ambos tienen la misma población total, pero no solo eso, sino que si sumas la población de esas hipotéticas China y Japón, acabas teniendo la misma ℵ0 población que tiene cada una de esas partes (incluso tu hipotético japón de 1km² tendría la misma población que la suma de mis hipotéticas China y Japón).- Porque eso es el infinito y a un conjunto infinito le puedes quitar o poner que seguirá siendo infinito.-

Y entonces llegamos a lo único que cuestiono sobre este tema que no es el infinito, sino como puede una persona tan inteligente como Cantor decir que puede haber un [Camino sin final] que sea más largo que [Otro camino sin final]

Y es que yo soy consciente de las respuestas a las preguntas de mi anterior post, pero esperaba que alguien [El espiritú de Cantor] explayase como puede haber infinitos más grandes que otros ya que después de todo es cierto que no podemos aplicar "fuerza bruta" a magnitudes infinitas, pero no hay evidencia lógica ni empírica a mi ver de que puedas realmente en un "uno a uno" quedarte sin números racionales para seguir correspondiendo a los del conjunto de los reales.-

Ergo, y al ser ambos conjuntos infinitos, son iguales aunque los números reales (China) tenga más kilómetros cuadrados que los racionales (Japón) y ambos tengan la misma población INFINITA, ya que al no encontrar al menos hasta ahora (habrá que ver que pasa en la parte III) motivos para creer que haya infinitos mayores que otros, creo que puedo decir infinito y usar el simbolo ∞ que por cierto, me resulta más lindo que el aleph.- :þ

20# heygonza, mientras leía tu comentario estuve dando le vueltas todo el rato buscando exactamente en que aspectos sobre los infinitos estábamos en desacuerdo el uno con el otro y de donde podría venir esta diferencia de opinión. Es decir en que punto de la demostración de Cantor comenzaba todo este embrollo, y fue ahí cuando me di cuenta que en ninguno de estos dos post sobre conjuntos infinitos (ni en sus respectivos comentarios) se demostraba la afirmación que se da en este post "Por reducción al absurdo, se puede demostrar que para cualquier enumeración de los números reales, podríamos construir otro número real no recogido dentro de ella" (ya descubrí como terminar las cursivas y demás).

Y bueno, como por los adelantos del siguiente post no parece que se vaya a esclarecer esta duda, permíteme intentar demostrartelo:

(E de hacer una aclaración, lo que viene a continuación es material repetido aquí en Genciencia, lo pongo de todas formas porque para cuando me di cuenta de que estaba repetido ya casi lo había terminado y después del curre que me dio intentaré que, con suerte, sirva para algo. Al fin y al cabo yo tardé en ver que en el artículo "Quiz Genciencia: Solución Infinitos" ya se decía todo esto. Vamos, que no se si lo habías visto, y aunque ya lo hubieras visto es posible que ambas explicaciones puedan complementarse para que no quede ninguna duda sobre el tema. También rogaría que si después de leer esto y/o el artículo anteriormente mencionado sigues en desacuerdo con el hecho de que existan infinitos mayores que otros especificases en que punto de la demostración es en el que opinas que empieza a fallar el razonamiento)

(esta ved aprendí a hacer que se notaran mis puntos y aparte) A continuación daré una demostración de para la siguiente afirmación: "Existen infinitos mayores que otros".

Para ello daré un ejemplo de infinito que es mayor que otro y demostraré porqué lo es. Dicho infinito será la cantidad de Reales pertenecientes al intervalo (0,1) que resultará ser mayor que el infinito correspondiente a la cantidad de naturales.

Para ver esto tendremos que comprobar, no solo que si damos una relación uno a uno entre los elementos de dicho conjuntos sobran elementos del intervalo (0,1), si no que para cualquier relación uno a uno que demos sobrará algún elemento del intervalo (0,1).

Debido a que relacionar los elementos de algún conjunto con los naturales usando una relación uno a uno no es otra cosa si no que poner a un elemento como el 1º, otro como el 2º, otro como el 3º, etc. Es decir, dar una sucesión con todos los términos del conjunto. Por tanto podemos hablar en términos de sucesiones o listas (palabras que usaré aquí como sinónimos) en ved de en termino de relaciones uno a uno con los naturales.

Teniendo todo lo dicho has ahora en cuenta el problema se "reduce" a demostrar que para cualquier lista que se de con los elementos del intervalo (0,1) existirá algún elemento de dicho intervalo que no estará incluido dentro de esa lista. Y para probar esto no hay más que emplear el argumento diagonal de Cantor:

Para cualquiera de esas listas que me den sus elementos será de la forma (cada una de las letras acompañadas de un número que están entre paréntesis corresponden con una cifra decimal de los números de la lista [números que se puede considerar que tienen infinitas cifras decimales, por ej. el 0´5 es lo mismo que el 0´50000....]): 1º- 0´ (a1) (a2) (a3) (a4) (a5) (a6) (a7)... 2º- 0´ (b1) (b2) (b3) (b4) (b5) (b6) (b7)... 3º- 0´ (c1) (c2) (c3) (c4) (c5) (c6) (c7)..... 4º- 0´ (d1) (d2) (d3) (d4) (d5) (d6) (d7)... ....................................................................... Un vez tenemos esta lista genérica si tomamos el siguiente número veremos que no está en la lista (pero estará en el intervalo (0,1)). Dicho número lo fabricaremos usando la regla siguiente: Será de la forma cero coma algo. La 1ª cifra decimal de nuestro número será 6 si (a1) es distinto de 6 y en caso contrario será 2, la 2ª cifra decimal será 6 si (b2) es distinto de 6 y en caso contrario será 2, la 3ª cifra decimal será 6 si (c3) es distinto de 6 y en caso contrario será 2, la 4ª cifra decimal será 6 si (d4) es distinto de 6 y en caso contrario será 2, y así sucesivamente.

Este número obviamente pertenece al intervalo (0,1) y se diferencia del primer número de la lista en la primera cifra, del 2º en la segunda cifra, del 3º en la tercera, etc. Por tanto este número al ser diferente de todos los números de la lista no está en ella, y al ser valida la fabricación de este número para cualquier lista que se de llegamos a que no se pude crear ninguna lista que contenga a todos los número reales del intervalo (0,1), con lo que concluimos la demostración.

Como última aclaración, decir que al haber más reales entre el 0 y el 1 que naturales es sencillo imaginarse que en general habrá más reales que naturales y consecuentemente que racionales (ya que como bien se demostró en "Quiz Genciencia: Solución Infinitos", y no tengo intención de duplicar otra demostración, hay tantos racionales como naturales).

Espero haberte convencido, ya me dirás. (reitero mis disculpas por el material repetido)

Mi comentario tiene un fallo, la tabla salio distorsionada. La copio aquí intentando que sea más legible:

(cada una de las letras acompañadas de un número que están entre paréntesis corresponden con una cifra decimal de los números de la lista [números que se puede considerar que tienen infinitas cifras decimales, por ej. el 0´5 es lo mismo que el 0´50000....]):

1º-- 0´ (a1) (a2) (a3) (a4) (a5) (a6) (a7)...

2º-- 0´ (b1) (b2) (b3) (b4) (b5) (b6) (b7)...

3º-- 0´ (c1) (c2) (c3) (c4) (c5) (c6) (c7)...

4º-- 0´ (d1) (d2) (d3) (d4) (d5) (d6) (d7)...

.......................................................................

Si, yo esa explicación la había comprendido pero no me convence es que, si bien entre el 0 y el 1 tenemos infinitos números, solo prueba eso que nunca mejor dicho los números reales, se manifiestan con una frecuencia infinitamente superior a los naturales, pero aún así, aunque hablemos de cifras más grandes que el universo mismo, el conjunto de los naturales, al ser infinito siempre podrá dar un nuevo numero que se sume a ese "uno uno" contra los reales aún cuando a ese nuevo número, le correspondan otros "Aleph Cero" nuevos más al conjunto de los reales.-

Y es que como en una "carrera infinita", no importa quién crece más rápido, porque ninguno de los conjuntos, logrará agotar el contenido del otro.-

Yo por tanto, desde ya te digo, es probable de que yo este interpretando mal los datos.-

O por el contrario, que yo lo esté interpretando de la misma forma que vosotros, pero llegando a una conclusión distinta bajo la base de que a mi ver, no importa si mientras los naturales dan un paso los reales dan infinitos saltos, porque como dije antes, la carrera no tiene fin.-

Y es que la demostración al absurdo de que por cada número natural hay infinitos reales, es absurda desde el mismo momento en que [contar hasta infinito] es absurdo y que hablar de tamaños en este campo, es tratar de cuantificar lo incuantificable y de hacer del infinito un orden de magnitud que no es lo que el infinito es.-

Después de todo cuando di esos ejemplo más arriba, lo que buscaba era justamente intentar que "se vea" el que aunque haya conjuntos infinitos que sean contenidos en otros conjuntos infinitos al final, el resultado, sigue siendo que ambos son infinitos.-

Y es que si tomas un bolígrafo y gráficas esos ejemplos, verás que dentro del conjunto infinito de "Habitantes de China" (le llamaremos "conjunto U "), tendrás un subconjunto también infinito de "Habitantes de [Determinado kilómetro cuadrado, comprendido entre "tales" coordenadas]" (le llamaremos "conjunto A ") que ocupará 1/9.596.960 partes del total del conjunto U pero que sin embargo, como tú mismo dijiste anteriormente el conjunto A tendría el mismo tamaño que el U Infinitos.-

Y en una demostración "uno uno" no terminaría jamás para ninguno de los dos, por lo que no hay uno más grande. Qué un infinito contenga a otro es por tanto indiferente ya que al no tener ninguno fin nunca será uno "más grande"

Lo demás es solo una paradoja más, igual a todas las que se dan cuando se crean hipótesis con "algo sin límites".

El que el conjunto U sea igual al A a pesar de contenerlo a él y a otros 9.596.959 conjuntos iguales a A más, es solo una paradoja similar a todas las que surgen cuando se trabaja sobre supuestos "sin límites".-

Hola! Es la primera vez que escribo en Genciencia. Soy estudiante de ingenería industrial y me encantan las matemáticas, aunque la teoría de números no es mi preferida, las ecuaciones diferenciales y el análisis en general me apasionan. Os pregunto a vosotros, matemáticos, ¿qué asignatura de matemáticas debo escoger como de libre configuración atendiendo a mis gustos? Tengo prevista ecuaciones diferenciales de 2º, ¿alguna sugerencia más? XD.

Por otra parte, mis felicitaciones al creador de estos posts tan interesantes. Como bien dicen por ahí arriba, estaría bien otro hilo acerca de los números e, i, Pi, ...

Un saludo!

24# Me gustaría poder ayudarte pero no tengo mucha idea (ninguna en realidad) sobre que asignaturas de libre configuración sobre matemáticas hay en ingeniería industrial.

23# Ok, después de leer atentamente tu hilo de razonamientos creo que ya entiendo bien tu punto de vista y quizás puedo adivinar donde comienzan a separarse nuestras opiniones. Optaré por ir comentando uno a uno cada uno de tus párrafos para expresar mi opinión y que puedas comprobar si interpreté bien tu perspectiva.

Cuando dices: Si, yo esa explicación la había ........ otros "Aleph Cero" nuevos más al conjunto de los reales.-. Creo que te equivocas al afirmar "el conjunto de los naturales, al ser infinito siempre podrá dar un nuevo numero que se sume a ese "uno uno" contra los reales aún cuando a ese nuevo número, le correspondan otros "Aleph Cero" nuevos más al conjunto de los reales". Cuando damos una relación uno a uno de los naturales con los reales (o con lo que sea), en cuya relación se relacionen todos los naturales (como eran las listas de la demostración anterior) por muy infinito que sea el conjunto de los naturales no podremos par un nuevo número natural que se sume a ese uno a uno ya que, como dije, en la relación se relacionan TODOS los naturales.

El error surge cuando a la hora de dar una de las relaciones uno a uno, o lo que es lo mismo (en el caso de los naturales) una de las listas, te imaginas (o eso creo, avisa si me equivoco) una enumeración de reales que va paralela a una enumeración de naturales, vamos que no se trata de ir relacionando cada par (un real y un natural) uno tras otro. Eso sería como intentar contar uno por uno los números naturales, en ese caso si se aplicaría el razonamiento que decías: por mucho tiempo que estemos haciendo parejas (de reales y naturales) vale que nunca terminaremos con los reales, pero tampoco terminaremos con los naturales por que al ser infinitos por mucho que lo intentemos siempre habrá más y más naturales. Pero como te decía, hay está el erro, eso no se corresponde adecuadamente con la idea matemática de relación. Pero antes de definir lo que es una relación (matemáticamente hablando) prefiero intentar darte una idea intuitiva que, a mi modo de ver, si se asemeja a una relación. Podrías ver una relación como una norma, una regla a seguir mediante la cual si tienes un elemento de un conjunto (en este caso de los naturales o los reales) siguiendo lo que diga dicha norma puedes llegar hasta algún(os) elemento(s) de otro(o el mismo) conjunto (o hasta ninguno, si tenías un elemento que no estaba relacionado con nada). Un ejemplo sencillo de una relación entre los naturales y los reales es la llamada (si no me equivoco) identidad, a cada número natural le hace corresponder un único número real, su equivalente dentro de los reales. Es decir al número 1 de los naturales le hace corresponder el 1 de los reales, al 2 el 2, etc.(por razones obvias paso de seguir dando ejemplos de como funciona esta relación). Esta relación, desde luego, no prueba que halla más reales que naturales ya que como comenté hace dos comentarios para demostrar eso hace falta hablar de todas las posibles relaciones entre ambos conjuntos, no basta con hablar respecto a una en particular. Sin embargo si que es un sencillo contraejemplo a lo que decías en el párrafo que estoy comentando. Esta es una relación uno a uno (lo cual se refiere exclusivamente a que a cada natural le hace corresponder un único real, pero no tiene nada que ver con ir contando los naturales uno por uno, como ya aclaré antes) entre los naturales y reales, en la cual quedan, efectivamente, todos los naturales dentro de la relación. Por tanto resulta imposible encontrar ese número natural que se pueda añadir a esta relación uno a uno del que hablas, ya que, repito, esta relación tiene en cuenta todos los naturales. Para ver que esta relación relaciona todos los naturales con algún real no tiene más que pensar en el natural que te de la gana o en un natural genérico al que llamaremos n y ver que a dicho natural se le asigna el real n, por tanto (como ya dije unas cuantas veces) esta relación relaciona todos los naturales, por muy infinitos que estos sean.

(Lo se, no definí relación matemáticamente hablando, pero no me pareció que realmente fuese a ser de ayuda, una vez que se tiene una idea intuitiva acertada).

Una vez dicho esto se puede aplicar fácilmente a lo que se dice en el segundo y quinto párrafo: el símil de la carrera infinita no resulta ser muy afortunado, desde mi punto de vista, por todo lo anteriormente mencionado.

Con respecto al sexto párrafo a parte de poder seguir con lo mismo con respecto a el momento que se dice "contar hasta infinito" quisiera añadir que cuando dices "es absurdo y que hablar de tamaños en este campo, es tratar de cuantificar lo incuantificable y de hacer del infinito un orden de magnitud que no es lo que el infinito es" me da la impresión de que dices que la demostración es absurda por que el infinito es incuantificable, vamos que estás suponiendo la falsedad de el resultado al que se quiere llegar con la demostración y diciendo que, obviamente, la demostración (con esa suposición) no tiene sentido. Es decir, no me parece un argumento de peso para negar la demostración ninguna conclusión lógica a la que se llegue de partir de suponer que justamente lo que queríamos demostrar era falso.

No tengo nada que objetar respecto a lo dicho en el 6º párrafo, a mi ver es perfectamente compatible con mi punto de vista. Ya que aunque los reales contienen a los naturales, o los enteros a los naturales, todos estos son infinitos.

Vallamos ahora con el séptimo párrafo. A la conclusión que llegas aquí es a que con esas suposiciones el conjunto U (conjunto infinito), a pesar de contener al A, tiene el mismo tamaño (es preferible hablar de cantidad de elementos, creo) que A. Pero esta afirmación es perfectamente compatible con todo lo que dije hasta ahora, es más lo daba por supuesto. Otra cosa es que digas que esto carece de sentido. Antes de nada permíteme explicarte por que dije que esto lo daba por supuesto:

En matemáticas (al menos, las que yo conozco, ya que puede que con otros axiomas la cosa cambie) se define conjunto (al que llamaremos dentro de esta demostración "D") infinito como aquel conjunto que contenga algún subconjunto (conjunto formado por elementos pertenecientes al conjunto D) que tenga la misma cantidad de elementos que D. Por tanto la conclusión a la que llegaste no es contradictoria con lo que decía, es más era necesario que dentro del conjunto U del que hablabas existiera algún subconjunto como A para que U fuese infinito. De todas formas, la existencia de conjuntos con estas características luego (en las matemáticas que conozco) no se demuestra, se presupone al implementar el "axioma de los conjuntos infinitos" que dice: los conjuntos infinitos existen. Aun así, una vez se tiene el conjunto de los naturales o el de los enteros es fácil ver que cumplen dicha norma de los conjuntos infinitos, como ya demostré en la demostración de que aleph sub cero es igual a dos veces aleph sub cero. A lo que intento llegar es que a la conclusión que llegaste, aunque chocante en un principio, no le ocurre nada extraño.

En cuanto a lo dicho en el octavo párrafo nada más que e de aclarar que nunca se afirmo que un conjunto infinito por contener a otro conjunto infinito fuera a tener más elementos que este. Desde luego que esto no es una razón suficiente si no llegaríamos a absurdos como que cualquier conjunto infinito es más grande que si mismo.

Con respecto a lo que falta diré que el único supuesto que hice (con respecto a algo sin límite), como ya dije, es que estos conjuntos infinitos existen, el resto (una ved definido que significa tener más elementos de una forma lógica) salió solo.

Bueno creo que esto es todo lo que quería decir, si estas en algo en desacuerdo insisto que, por favor, especifiques en que lugar comienza esa diferencia de opinión. Y bueno, si lo prefieres puedo definir lo que es una relación en matemáticas, pero ahora me da demasiada pereza. Ya me dirás.

Te cito: "Vallamos ahora con el séptimo párrafo. A la conclusión que llegas aquí es a que con esas suposiciones el conjunto U (conjunto infinito), a pesar de contener al A, tiene el mismo tamaño (es preferible hablar de cantidad de elementos, creo) que A. Pero esta afirmación es perfectamente compatible con todo lo que dije hasta ahora, es más lo daba por supuesto. Otra cosa es que digas que esto carece de sentido. Antes de nada permíteme explicarte por que dije que esto lo daba por supuesto:

En matemáticas (al menos, las que yo conozco, ya que puede que con otros axiomas la cosa cambie) se define conjunto (al que llamaremos dentro de esta demostración "D") infinito como aquel conjunto que contenga algún subconjunto (conjunto formado por elementos pertenecientes al conjunto D) que tenga la misma cantidad de elementos que D. Por tanto la conclusión a la que llegaste no es contradictoria con lo que decía, es más era necesario que dentro del conjunto U del que hablabas existiera algún subconjunto como A para que U fuese infinito. De todas formas, la existencia de conjuntos con estas características luego (en las matemáticas que conozco) no se demuestra, se presupone al implementar el "axioma de los conjuntos infinitos" que dice: los conjuntos infinitos existen."

Pues claro que un conjunto infinito, debe tener subconjuntos infinitos, es parte misma de la definición del infinito.-

Pero a lo que yo voy, es que no creo correcto decir como dice el post, que hay infinitos "Más grandes" porque sencillamente, no es más grande, y eso es a lo que llamo absurdo no a la demostración.-

Como hablamos de infinito, y el conjunto U tiene la misma cantidad de elementos que el subconjunto A ¿cómo podemos decir que es más grande si aceptamos que tiene la misma cantidad de elementos?

En cuanto a la relación, también entiendo a que iba tu "uno a uno" porque como dije antes, hacerlo a fuerza bruta es imposible.-

Pero el problema es que personalmente, de verdad no creo que se pueda fundamentar en la lógica y la reducción al absurdo cuando tratamos con algo "sin límites" como el infinito. El por qué, es el siguiente por un lado, la lógica nos dice que efectivamente por medio de la relación matemática que reales es mayor que naturales, pero por el otro, la lógica nos dice que ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos y por ende llegamos a una paradoja, porque sabemos que por su relación, o "la cardinalidad del continuo" como dice el post, el conjunto de los reales es más grande como concluye Ignacio; pero a la vez, ambos tienen la misma cantidad de elementos.-

Teniendo en cuenta que para "Ser más grande" un conjunto debe tener mayor cantidad de elementos (y nosotros sabemos que tienen la misma cantidad) deberíamos de concluir por tanto que el conjunto U no es más grande que el subconjunto A; ambos son iguales.-

Perfecto, entonces no había ningún problema en nuestras ideas de conjuntos infinitos, coincidimos. Pero creo que hay un matiz en el que volvemos a entrar en desacuerdo. Como dices en el séptimo párrafo "la lógica nos dice que ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos y por ende llegamos a una paradoja, porque sabemos que por su relación, o "la cardinalidad del continuo" como dice el post, el conjunto de los reales es más grande como concluye Ignacio; pero a la vez, ambos tienen la misma cantidad de elementos" y por lo que me parece que das a entender en el resto del comentario insinúas que el caso de los reales y los naturales (que están contenidos, obviamente dentro de los reales) es el mismo caso que el del conjunto U y el conjunto A del que ya comentamos (corrígeme si te interpreté mal). Pero no hay nada que garantice que estemos en el mismo caso, es más hay algo que garantiza que nos encontramos en casos muy distintos: el echo de que al suponer eso acabes llegando en el razonamiento del séptimo párrafo a una contradicción. Lo que quiero decir es que esa contradicción surge de hacer esa suposición, no de que no se pueda emplear la lógica (ya que al darte ahora una causa lógica de esa contradicción queda completamente explicado de donde salía dicha contradicción). Y es que esa errónea suposición creo que proviene de interpretar mal la definición de infinito (corto y pego):

En matemáticas (al menos, las que yo conozco, ya que puede que con otros axiomas la cosa cambie) se define conjunto (al que llamaremos dentro de esta demostración "D") infinito como aquel conjunto que contenga ALGÚN subconjunto (conjunto formado por elementos pertenecientes al conjunto D) que tenga la misma cantidad de elementos que D.

Es la diferencia entre un "existe" y un "para todo". Tiene que existir algún subconjunto con la misma cardinalidad que el conjunto D del que hablamos, pero eso no implica que para todo subconjunto de D se cumpla que dicho subconjunto tenga la misma dardinalidad que D. Y desde luego tampoco implica que para todo subconjunto infinito contenido en D este subconjunto vaya a tener la misma cardinalidad que D. Para hacer esa afirmación primero tendrías que probarla, pero eso resultaría imposible ya que se puede probar que es falsa.

Otra forma de verlo es diciendo que usando la definición de conjunto infinito no puedes llegar a afirmar que por el mero hecho de que los naturales estén contenidos en los reales vayan a tener estos dos conjuntos la misma cantidad de elementos, ni aunque se tenga en cuenta que los naturales son infinitos. No hay nada que respalde tal afirmación.

Y, por tanto, no existe contradicción (al menos no es correcta la supuesta contradicción que señalaste en el anterior comentario)al decir que la cardinalidad de los reales es mayor que la de los naturales.

Por otro lado, si lo que te dije crees que no viene a cuento por el hecho de que haya podido interpretar mal tus palabras te rogaría que intentases probar formalmente que los reales y los naturales tiene la misma cantidad de elementos (que creo que es de hay de donde surge la contradicción de la que hablas), ya que apostaría por que está hay el origen del problema.

"Otra forma de verlo es diciendo que usando la definición de conjunto infinito no puedes llegar a afirmar que por el mero hecho de que los naturales estén contenidos en los reales vayan a tener estos dos conjuntos la misma cantidad de elementos, ni aunque se tenga en cuenta que los naturales son infinitos. No hay nada que respalde tal afirmación."

Hombre, pues en la próxima respuesta, quisiera que me digas si piensas que es correcto decir que el conjunto de Reales es "más grande" que el de los naturales.-

Por lo demás, tu me dirás si la lógica no llega a una contradicción usando el razonamiento más simple que puede haber:

¿Puede algo ser "más grande" que algo que es tan grande que no tiene fin?

Yo sinceramente, no compro el paquete de Cantor. Creo que Galileo tenía la razón (Paradoja de Galileo) cuando deduce que menor, igual y mayor sólo se aplicaban a conjuntos finitos.- Estoy plenamente convencido de ello.

Porque cuando un conjunto es infinito, el todo, no es igual a la suma de las partes, porque las partes, pueden ser tan grandes como el todo mismo.-

Si tuviéramos infinito tiempo para corroborarlo podríamos probar la fuerza bruta y dar razón de que nunca encontraremos algo más grande que infinito sin importar el sistema de numeración empleado o el conjunto infinito que se utilice como muestra.-

Primero te diré mi opinión respecto a la pregunta de si el conjunto de los reales se puede considerar más grande que el de los naturales:

Antes de nada quisiera decir que la expresión "más grande" dentro de las matemáticas, creo yo, puede llevar a confusión por diversas ideas de más grande que se pueden concebir (como puede ser la dimensión en un espacio vectorial). Pero bueno, interpretando "más grande" como mayor cantidad de elementos creo yo (creía que mi opinión en este aspecto la había dejado bien clara) que sí, efectivamente los reales tienen más elementos que los naturales. Pero lo que yo decía en el comentario que citaste es que no por el hecho de que los reales contengan a los naturales estos dos conjuntos van a tener la misma cantidad de elementos.

Cito: "Por lo demás, tu me dirás si la lógica no llega a una contradicción usando el razonamiento más simple que puede haber: ¿Puede algo ser "más grande" que algo que es tan grande que no tiene fin?"

Esa lógica sencilla peca precisamente de sencillez, no puedes trivializar el asunto intentando que se pueda resolver intuitivamente. Y menos aun puedes negar un argumento sólido como es el que dio Cantor simplemente porque el resultado resulte chocante, habría que dar una razón bien fundamentada.

La razón, creo yo, de porqué no puedes aceptar que existan conjuntos infinitos mayores unos que otros es que estás tratando de usar la intuición en un problema en el que el cerebro no tiene precedentes en los que basarse. Yo tampoco puedo imaginarme algo mayor a algo que no tenga fin, pero no por ello significa que no exista, solo significa que no soy capaz de imaginarlo por las limitaciones de mi mente. Un caso parecido ocurre con los espacios de 6 dimensiones (digo 6 porque me gusta el número y es más que 3, pero cualquier número de 4 para arriba sirve), es imposible de imaginarlo gráficamente, pero eso no significa que no existan o que no se pueda llegar a conclusiones lógicas al respecto, Y esto es debido a que no vemos en 6 dimensiones al igual que no trabajamos a diario con cosas infinitas (físicamente, no en las matemáticas). La demostración de Cantor es irrefutable, tan solo se trata de saber llevar ese choque contra la intuición, y remodelar esta en consecuencia.

Con respecto a la opinión de Galileo, me gustaría ver la demostración que da para poder afirmar que no se decir menor, mayor o igual si no es en conjuntos finitos. Ya que parece una mera suposición que quedó desfasada en cuanto llegaron las teorías de Cantor.

Vuelvo a citar: "Porque cuando un conjunto es infinito, el todo, no es igual a la suma de las partes, porque las partes, pueden ser tan grandes como el todo mismo."

Realmente es muy fácil ver que el todo sigue siendo igual que la suma de las partes, ya que por ejemplo ℵ0+ℵ0=ℵ0. En general la forma de sumar los infinitos se define de tal manera que se cumpla que el total es igual a la suma de las partes, de forma que, verdaderamente, no hay problema en este aspecto.

Y por último, cito: "Si tuviéramos infinito tiempo para corroborarlo podríamos probar la fuerza bruta y dar razón de que nunca encontraremos algo más grande que infinito sin importar el sistema de numeración empleado o el conjunto infinito que se utilice como muestra."

Todo depende de que infinito dispusiéramos, creo que con un infinito lo suficiéntemente grande si encontraríamos ese conjunto infinito más grande que otro usando la fuerza bruta.XD

muy buen blog acabo de encontrar, vengo de blogdecine.com, pero este y zonafandom son lo mio, si que si...saludos de un un friki anti-friki y pues aqui los seguire visitando. Muy buena la informacion...ya lo decia Galileo: hay que aprender matematicas para leer filosofia ¡y entenderle!

Byeeeeeeeeeeee!!!!!

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