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En el reciente post sobre el Teorema de los Infinitos Monos se vio una demostración práctica de que infinito no es una cantidad muy grande, sino que infinito es infinito, y por ello muchas veces no podemos tratarlo como una cantidad ‘normal’. Por eso mismo, tiene propiedades muy interesantes, y que a veces desafÃan nuestros razonamientos lógicos.
Por ejemplo, aunque infinito sea mayor que cualquier cantidad “real” imaginable, resulta que hay infinitos más grandes que otros. Y sin embargo, esa no es la propiedad más sorprendente de los infinitos. Desde la antigüedad clásica, se asume que la parte no puede ser tan grande como el todo como un dogma filosófico. Pues la teorÃa de los infinitos demuestra que no.
El responsable de estas chocantes conclusiones es el matemático alemán (aunque nacido en Rusia) Georg Cantor. Los resultados que obtuvo atentaban de tal forma a las convenciones que fue tachado de loco por sus coetáneos. No sólo eso, sino que además comenzó a sufrir crisis nerviosas y episodios de demencia cada vez que se daba cuenta de que su mente rechazaba sus propios descubrimientos. Tanto es asà que falleció en la pobreza en un psiquiátrico.
Infinitos enumerables
Pero entremos más a fondo en las teorÃas de Cantor. Empecemos analizando la relación entre los números naturales (0,1,2,3,...) y los enteros (que incluyen también los negativos). Pues bien, según la teorÃa de Cantor, si podemos establecer una relación “uno a uno” entre dos conjuntos, se deduce que ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos (conclusión lógica, por otra parte). En el caso de los naturales y los enteros, es muy fácil: A los números naturales de forma 2·k les asignamos los enteros de forma -k, y a los naturales 2·k + 1, los enteros k.
Pues de esta forma podemos establecer una relación uno a uno entre naturales y enteros. En las siguientes parejas, el primer elemento es el natural, y el segundo, su entero asociado: (0,0), (1,1), (2,-1), (3,2), (4,-2), (5,3), etc. Se ve fácilmente que asà asociarÃamos todos los enteros a los naturales. Por tanto, hay tantos naturales como enteros, a pesar de que intuitivamente pensarÃamos que hay el doble de enteros que de naturales. A esta cantidad infinita, Cantor la llamó ℵ0 (aleph sub cero).
Más sorprendente resulta saber que la cantidad de números racionales (es decir, todas las fracciones) también es ℵ0. AquÃ, el órdago a la intuición es brutal. ¡Si solamente entre 0 y 1 ya hay infinitos racionales! ¿Cómo es posible que el número total de racionales sea igual que el de naturales? El razonamiento es más complejo (es más fácil de ver en un gráfico, como ya se publicó aquà en Genciencia), pero es igualmente válido En referencia a este hecho, Cantor escribió a otro matemático “lo veo, pero no lo creo“.
Estos resultados a priori tan extraños tienen cierto sentido si tenemos en cuenta que el infinito cumple que ∞+1 = ∞, y por tanto, ∞+1 = (∞+1)+1 = (∞+1+1)+1, y asÃ, ad infinitum (nunca mejor dicho). Esto se ve fácilmente en la famosa paradoja del hotel de Hilbert. Sin embargo, es cierto que existen infinitos más grandes que otros. En este caso, el sÃmbolo ∞ pierde su significado, necesitamos una notación que indique las diferencias entre distintos infinitos (de ahà el uso del sÃmbolo ℵ).
A los conjuntos que tienen ℵ0 elementos (es decir, cuya cardinalidad es ℵ0) se les denomina enumerables. En la próxima entrega veremos que hay conjuntos cuyos elementos no sólo son infinitos, sino que además no se pueden poner en correspondencia con los números naturales. Hay infinitos que son más grandes que otros, pero no sólo eso, sino que son infinitamente más grandes.
Imagen | m. a. r. c.
En Genciencia | Quiz Genciencia: infinitos
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Comentarios
Hay un chiste, viejo, malo, pero gracioso sobre los infinitos números racionales.-
Resulta que infinitos matemáticos entran a un bar; el primero, pide una cerveza; el segundo, pide media cerveza; el tercero, pide un cuarto de cerveza; el quinto, un octavo y asà sucesivamente a lo que el barman grita ¡Idiotas! y les da dos cervezas.-
#1 esa es buena, sin embargo, si los matemáticos hubiesen pedido media cerveza, el siguiente un tercio, el siguiente un cuarto, el siguiente un quinto... no habrÃa existencias en todo el mundo para satisfacerles :)
Cáspitas! "el tercero, pide un cuarto de cerveza; el cuarto, pide un octavo"
Fatal Error
A fatal exception DISLEXIA has ocurred at my mind. the current application will be terminated.-
xD que bruto.-
No has puesto cómo se hace con los racionales! Recuerdo que era una tabla bidimensional con el numerador como Ãndice por columnas (supongo que positivos y negativos intercalados) y el demoninador como Ãndice por filas y la enumeración era en diagonal :) ¿Era asÃ? Porque lo comento de memoria y lo que mi lógica me indica... ;)
#4 hay un enlace a otro post de Genciencia donde lo explicamos
#3 Yo también sufro ese mal :-( Las examenes de matemáticas siempre se me dieron fatal. Hasta confundÃa el negativo con postivio.
Ooops, veo que sà que está aquÃ: http://www.genciencia.com/quiz-genciencia/quiz-genciencia-solucion-infinitos
#7 Y sin embargo, eso no resuelve nada, y quedarÃamos discutiendo lo mismo que discutÃan ellos en aquel post.-
Después de todo, si el infinito no tiene fin, no puede haber uno más grande que otro, porque para que uno sea más grande, debe tener fin.-
Lo que ese ejemplo desmuestra es solo que los racionales tienen una mayor frecuencia de aparición, pero creo yo que no soy matemático que si ambos conjuntos son infinitos, no puede haber uno más grande.-
El "ser mayor qué" implica a mi ver que tenga un "tamaño especÃfico".-
No podemos decir que en dos eternidades, una es más larga que otra porque los dÃas pasan más rápido o el reloj gira a mayor velocidad.- y del mismo modo, infinitos números, son infinitos números, no hay nada más grande que infinito aunque pueda ser igual.-
Lo mismo, como dije antes, no soy matemático y se me puede estar escapando algún detalle.-
#8 el post dice precisamente que los racionales son tantos como los naturales (a pesar de aparecer con una 'frecuencia infinitamente superior', por utilizar tus palabras) y sin embargo, el propio Cantor demostró que realmente sà puede haber infinitos más grandes que otros (evidentemente, el sentido matemático de 'más grande' en este caso no es igual que cuando comparamos números finitos).
Por eso Cantor introdujo la palabra 'transfinito' para denominar a ℵ0, ya que si hay 'otros infinitos' que son todavÃa 'más infinitos', no tiene sentido utilizar la palabra infinito.
Yo me acuerdo de una discusión en mis años de estudio de FÃsicas. Se trataba de discutir si el vacÃo es medible. Cómo se dice en la teorÃa de Incertidumbre, la medición introduce distorsión. Por lo tanto si existiese un vacÃo (que si existe, no lo pongo en duda y aceptado con su definición) que quisieras medir, al intentar medirlo introduces distorsión (por ejemplo fotones, instrumentos, etc) por lo que deja de ser vacÃo.
Con el mismo razonamiento: si existiese un infinito (que si existe, aceptado con su definición) que tu quisieses medir, dejarÃa de ser infinito y pasarÃa a ser contable.
es increible toda esta teoria, pero existe algo mas grande que 2^(Aleph_cero)?
Ignacio, ¡compartido en facebook!
11#moy-kyo 3^(Aleph_cero)? XD
Es curioso ver que cuando conoces el lenguaje puedes interpretar lo que está escrito jaja (estoy mirando el comentario que acabo de publicar XD)
Hola a todos! Soy nuevo en GenCiencia, aunque llevo un tiempo siguiéndolo, pero, al fin, me decidà a registrarme(No se si hay alguna zona para presentarse, por eso me doy a conocer aquÃ).
#11 y #13 No estoy seguro pero, al elevar un número a un infinito numerable, ¿no darÃa otro infinito numerable?: ¿2^ℵ0 = 3^ℵ0 = ℵ0?
Vi en un episodio de Futurama que usaban ℵ0 para designar la cantidad de salas de un cine...: http://bbrp.atwebpages.com/matematicas.html#infinito (no quiero hacer spam, solo es una curiosidad).
(Empiezo bien...)
También querrÃa decir que: respecto al Teorema de los Infinitos Monos, podrÃa ser que nunca escribiesen las obras, es más, puede que siempre escribiesen la misma letra, la posibilidad es Ãnfima, pero existe...
Con todo "respeto" en mi opinión el infinito son puras pajas mentales de los matemáticos para pasar el tiempo. Los números no son más que una cosa abstracta inventada por el hombre. En el universo no e conoce absolutamente NADA que sea infinito. Y por lo tanto nunca habrá cantidades de números que sean infinitas hasta que no sean escritas.
Me gusta este post sobre los conceptos de infinito, solo que las fórmulas que se aplican usando el "ocho acostado" son todas ilegales; tan solo porque el infinito no es un número y por ello no podrÃa ser parte de una ecuación matemática. Es como si quisiéramos establecer una ecuación entre elementos de conjuntos dispares. SerÃa un concepto similar a las dimensiones del universo real en el que estamos insertos.
Me gustarÃa ver los fundamentos de la demostración de Cantor, en cuanto a que los infinitos puedan ser comparativamente ponderables. Pero esto es una contradicción ya que hablar de "tamaños" solo es aplicables a cantidades finitas, no a infinitas. Habrá que conocer cuáles son las abstracciones que emplea Cantor para llegar a comparar matemáticamente los infinitos. Con solo decir infinito, ya estamos hablando de algo que no tiene fin, ¿si?
#19 Eso es lo que llamadme cabeza dura, no termino de comprender por mucho "Aleph cero" que escriban en las respuestas..xD
Tendremos que esperar a la parte II
No sé en qué pueda ayudar esto pero me parece algo relacionado a lo de los infinitos. No es profesional pero me parece que contiene algunas buenas reflexiones en ese tema.
Perdón, me distraje con mi hijo y se me olvidó poner el enlace pretendido. Trata sobre los infinitos.
Aquà está:
http://www.forovencedores.com/search.forum?search_keywords=infinito
Hola chicos, no soy muy ducho en este tipo de razonamientos asà que si hay algo de malo en lo que diré, pues a advertirme; esa propocicion que se dio "inf+1=inf" no esta mal?? Me refiero a tomar el infinito como una sucecion irrepetible de probabiliades???(ejm la sucecion de números naturales que también es un infinito) o un conjunto infinito de probabilidades repetibles (único espacio posible donde la propocicion seria correcta) por lo tanto la propocicion operativa dada entrarÃa en conflicto, dándose solamente su posibilidad en un conjunto infinito de probabiliades repetibles haciendo su asociasion con una secuencia sucesiva numérica un error??!??
Me parece que, como dice momentum, Inf+1=Inf es incorrecto, ya que: infinito no tiene un valor fijo, es decir, no tiene fin por lo que no se le puede sumar o restar entre nada(dividir no estoy seguro de si Inf/Inf=1... e Inf·0=0) o simplemente, no se puede sumar una incógnita con un número => A+1=A+1 y si A=Inf, no se podrÃa...
hola: cuando ingrese a Matemáticas (hace poquito) tuve una anécdota con infinitos, mi profesor nos dijo como un simple comentario "si los números naturales son infinitos, estos están incluidos en los números enteros que son infinitos y estos a su vez incluidos en los números racionales que también son infinitos y asi.. entonces habrÃa que DEFINIR clases de infinitos, pero bueno eso lo verán mas adelante" me acuerdo que me refresco el cerebro a mi y a mis compañeros con eso y con otras cosas mas que nos comentaba.
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