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Hoy os proponemos un pequeño reto relacionado con una de las ramas más interesantes de la EconomÃa (sobre todo para los que procedemos del mundo de las ciencias y las ingenierÃas), que es el estudio de la elección con incertidumbre. Se trata de añadir la teorÃa de la probabilidad a los modelos económicos habituales y estudiar los juegos de azar y las loterÃas (un concepto que en el fondo es aplicable a cualquier situación de la vida real ya que el resultado de nuestras elecciones habitualmente depende de factores aleatorios externos).
Partimos del valor esperado de un juego de azar. Esto no es más que la ganancia promedio que obtendremos al jugar a dicho juego. Por ejemplo, supongamos un juego en el cual recibimos siete euros si al lanzar un dado sacamos un 6, y un euro si sacamos cualquier otro número. Hay 1/6 de probabilidades de obtener siete euros, y 5/6 de obtener un euro. Por tanto, el valor esperado de este juego será de 1/6 · 7 + 5/6 · 1 = 2. Es decir, si jugamos muchas veces, acabaremos obteniendo en promedio unos dos euros por tirada.
Desde un punto de vista matemático, parece claro que un juego es “justo” si el precio que pagamos es igual al valor esperado. Si pagamos dos euros cada vez que jugamos, nadie nos está estafando ni sacando beneficios extraordinarios. La banca no ganarÃa dinero cobrando dos euros por tirada, ya que en promedio pagarÃa dos euros por tirada. Este razonamiento parece abrumadoramente lógico. Y sin embargo, hace unos 300 años, Nicholas Bernoulli le encontró una grieta importante, reflejada en la paradoja de San Petersburgo.
Bernoulli se planteó el siguiente reto: supongamos un juego que consiste en lanzar una moneda al aire y conseguir el máximo número posible de caras seguidas, hasta que sale una cruz y se deja de jugar. Cada vez que sale una nueva cara se duplica el premio, hasta que salga una cruz y entonces el jugador se lleva toda la ganancia acumulada.
Es decir, si la primera tirada es cruz, no se gana nada; si la primera es cara y la siguiente cruz, se ganan dos euros; si saliesen dos caras y una cruz, se ganan cuatro, y asà sucesivamente. Por ejemplo, si hubiese alguien tan afortunado como para sacar diez caras seguidas antes de obtener una cruz, ganarÃa 210 euros, o sea, 1024 euros.
¿Cuál es el valor esperado de este juego? Veamos, la posibilidad de sacar una cara es de 1/2 y tiene un premio de 2 euros; la de sacar dos caras es de (1/2)·(1/2) y el premio es de 4 euros; la de sacar tres caras es de (1/2)·(1/2)·(1/2) y se ganarÃan 8 euros… es fácil de ver que el valor esperado es 2/2 + 22/22 + 23/23 + ... = 1 + 1 + 1 + 1 + ... ¡hasta el infinito!
Actualización: en el párrafo anterior, en realidad las probabilidades son correctas si consideramos que la primera tirada no es cruz. Estrictamente, habrÃa que dividir todas las probabilidades dadas por 2, asà la probabilidad de sacar una cara serÃa en realidad 1/4 (cara en la primera, cruz en la segunda y se liquida el premio). Pero no afecta para nada a nuestro razonamiento: ¡la mitad de infinito sigue siendo igual de infinito!)
La paradoja resulta en que tenemos un juego de azar cuyo valor esperado es infinito. Y sin embargo, resulta absurdo pensar que “infinito” pueda ser un precio justo para jugar. De hecho, si hiciésemos una encuesta, es probable que poca gente estuviese dispuesta a participar pagando más de cinco o seis euros. Parece que nuestro razonamiento inicial sobre el “precio justo” de los juegos de azar tiene algún tipo de fallo importante. Pero, ¿cuál?
La solución, próximamente, mientras tanto os invitamos a devanaros un poco los sesos (nada de buscar en Wikipedia y publicar el resultado ;)). Una pista: el dinero no vale lo mismo para los matemáticos que para el común de los mortales.
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Comentarios
Anda, si conozco como creo conocer a la mitad al menos de los que solemos postear aquà estoy seguro de que somos varios los que nos pusimos en algún momento a pensar como "ganar siempre" en los juegos de azar.-
La Gran Martingala para la ruleta es similar en cuanto a que serÃa infalible de no ser porque para estar seguro de ganar debes tener liquidez infinita.-
Aún asÃ, apostando en cantidades muuuuuy pequeñas respecto a tu liquidez total, podrÃas reducir las posibilidades de perder a menos del 1%.-
Claro que ante malas rachas apostarÃas cantidades ingentes para obtener ganancias mÃnimas, pero es el "riesgo" de tener todas las posibilidades en tu favor.-
Expertos dicen que el método no es recomendado pero yo creo que mientras uno no se endulce con eso de ganar siempre y mantenga apuestas que pueda doblar una cantidad prudencial de veces, es bastante fiable.-
El riesgo siempre está. Pero de eso se tratan los juegos de azar.-
Yo siempre he dicho que "la loterÃa es el impuesto de los que no saben de matemáticas".
Ya he conocido a muchos que se creen que saben mas que quienes diseñan los juegos y que se toman los juegos de azar como un negocio, y se equivocan de cabo a rabo.
La probabilidad de que te toque una primitiva es Ãnfima, pero, claro, como de vez en cuando te tocan un par de euros, te crees que es cuestión de "solo acertar cuatro bolitas mas".
Lo mejor es quizás el mundo de las quinielas. Conozco a varios que han fundado peñas quinielÃsticas, pues parten de la idea de que uniendo el dinero de muchas personas, se puede echar una quiniela más "gorda" con la que garantizar coger casi seguro un premio importante. No se dan cuenta de que las quinielas están dispuestas de manera que cuando tú aciertas la quiniela, aciertan miles como tu, por lo que el premio es pequeño y a menudo no sacas ni para pagar lo que te costó la quiniela. Un ejemplo es la peña quinielista de Eduardo Losilla (teletexto de TVE, pag. 209, o www.quinielista.com), que normalmente echa quinielas de unos 20000 euros (6 triples y 6 dobles), y la mayorÃa de las semanas no sacaba ni para pagar la quiniela.
Otro ejemplo son las apuestas deportivas en web como Bwin.com. Conozco un amigo que tenÃa la idea de en vez de apostar apuestas de poco dinero para ganar mucho dinero, o mejor dicho, "campanazos", pensó que quizás el truco es apostar grandes cantidades, como el tope de 1000 euros en apuestas que se pagan a 1,01 euros. Me decÃa, ¿qué quieres, 10 euros para comprar en Mercadona?, pues no tienes mas que buscar una apuesta muy pero que muy sencilla, apuestas 1000 euros a una ratio de 1,01 y gastas 10 euros en un instante.
Me decÃa, el banco te da apenas un 3% de intereses y tienes que esperar un año a recoger los beneficios, y encima tienes que pagarle a Hacienda. En estas apuestas deportivas, ganas un 1% o un 2% en apenas 5 minutos.
En una ocasión llegó a tener mas de 2000 euros euros, pero hace poco le pregunté y me dijo que tuvo dos malas apuestas que le salieron rana y casi pierde todo el dinero que tenÃa en su cuenta.
Por cierto, que uno de los objetivos de este chico era estar asà un año entero y llegar a sacarse para comprarse un coche.
JAJAJAJAJAJAJA
me parece que el problema es que no se esta tomando en cuenta la probabilidad condicionada es decir ademas de ello debes cerciorarte que los lanzamientos anteniores son cara por lo que seria la probabilidad condicionada de que salga cara ya habiendo salido cara que no se hace con esa formula precisamente
#3 cada lanzamiento de moneda es independiente. No van por ahà los tiros.
Lo que dice #3 le veo sentido. En el supuesto de lanzamientos independientes, en realidad no lo son, ya que solo es posible lanzar la segunda vez si se ha acertado la primera. Es decir, el segundo lanzamiento depende de acertar la primera, con lo que se tiene que añadir la probabilidad anterior a la posterior (1/2,1/4,1/8...). Veo que las probabilidades tienden a 0.
Eso si, no creo que sea infinito cuando nuestra vida es finita. Como no sea dios el que juegue a los dados, mal vamos :P
Tal como lo veo, el precio que yo estarÃa dispuesto a pagar dependerÃa del número de veces que pudiese jugar, ya fuera porque la banca impusiera un lÃmite, ya fuera porque cada jugada llevase un tiempo que consumirÃa mi vida antes de n jugadas. Pero si pudiera jugar a través de un ordenador que hiciese apuestas a razón de un nanosegundo, el precio justo de cada jugada serÃa inmenso. Asà el precio justo dependerÃa del número teorÃco (estadistico)de jugadas totales que pudiera efectuar. Por otro lado la banca siempre perderÃa a la larga, salvo que pusiera un precio calculado en función del número total de jugadas que estimase que se producirÃan antes de cerrar el negocio. Saludos.
La "martingala" es absurdo, ya que que el beneficio es absurdo en comparación con el dinero que se pone en juego (cientos de euros para ganar un solo euro)
Inventé otra técnico mejor que pruebo en los casinos gratis. Lo llamo la técnica KANFOR. Es igual que la "martingala", pero apostando en las columnas (no en el rojo o negro). La ventaja es que, cuando ganas, triplicas lo apostado, es decir, recuperas todo lo apostado en las partidas anterios y ganas mucho dinero.
Haced la prueba ;-D Mil veces mejor que la "martingala". El problema es que no puedes reapostar eternamente, y finalmente pierdes todo lo ganado. En el Casino solo se puede ganar dinero trabajando en él.
Creo que el precio justo es uno.
Suponiendo que se gane la primera tirada la siguiente seria el equivalente a jugar dos tiradas independientes de un euro cada una.
Si se hace una tirada en la que puedes ganar 100 Euros es como si hicieses 50 en la que puedes ganar 2. Asà que el precio justo es 1€
Yo creo que la clave está en que en cuanto se saca una cruz el juego se termina, y eso afecta a las probabilidades de sacar x caras seguidas. Creo que la mejor forma de abordar este juego es limitar el número de tiradas en cada apuesta a "n" y calcular el valor esperado para cada "n", después calculas el lÃmite cuando "n" tiende a infinito y te da el valor esperado del juego planteado. Por ejemplo, si sólo hay una tirada, el valor esperado es 1/2*0+1/2*2=1, si el número de tiradas es 2, el valor esperado es 2/4*0+1/4*2+1/4*4=3/2, etc. En general, el valor esperado es 0+1/2+...(n-1 veces)...+1/2+1. Si no nos ponen lÃmite de tirada, teóricamente la banca siempre pierde, pero realmente esto no es asÃ, porque supongamos que nos cobran 5 euros por apuesta. Si hacemos cálculos, 5 es el valor esperado para n=9, lo cual quiere decir que si nos pusiesen un lÃmite para que no pudiésemos sacar más de 9 caras seguidas, el juego serÃa justo. Pero es que daros cuenta de que la probabilidad de sacar 9 caras seguidas es de 1 entre 167619550409708032, y es difÃcil pensar que alguien tenga tanto tiempo y dinero como para invertir en este juego y sacar más de 9 caras para que el juego esté a su favor.
No todos los juegos de azar, son azar... El poker es un juego de azar, a una sola partida cualquiera que ni siquiera supiera jugar podrÃa ganar al mayor campeón, pero...en las mesas con miles de participantes en los campeonatos en las finales casi siempre se ven las mismas caras...eso es el factor humano, y ellos aun que la banca gana, probabilistamente suelen ganar incluso más que la banca, un juego que cuanto más juegas, (si aprendes) más ganas, y se aprovechan de los principiantes...Saludos.
Jejejej, me gustan los derroteros que está tomando el tema. Una puntualización: mirad la actualización que he incluido, creo que resuelve algunas dudas, pero insisto, los tiros no van por probabilidades condicionadas: las tiradas son independientes, y la probabilidad de sacar 7 caras seguidas es igual a la probabilidad de sacar cara en la séptima tirada condicionada a que las seis anterores también son caras.
#6 tu razonamiento es bastante interesante. Pero te lo planteo con números: supón que puedes tirar hasta un máximo de mil veces (una cifra razonable). El valor esperado del juego serÃa 500 € (mÃralo en la fórmula). ¿Realmente pagarÃas 500 € por jugar? sólo hay un 6.25 % de posibilidades de llegar a la 5ª tirada, premiada con 16 €.
#8 el precio justo no es uno, hombre... date cuenta de que en la mitad de las tiradas vas a sacar *al menos* 2 euros. Pagar un euro por tirada es un precio ventajoso para el jugador, pero no justo (en el sentido de equitativo para el jugador y la banca)
#9 Suponemos que no hay lÃmite de tiradas. Por otra parte, el lÃmite matemático que planteas tiende a infinito. Y una puntualización, la posibilidad de sacar 9 caras seguidas es un poco más alta, 1/512.
#11, se me ha ido la pinza calculando la probabilidad de sacar 9 caras seguidas..., jeje. Está claro que el lÃmite tiende a infinito, por eso pongo que si nos cobran 5 euros por apuesta la banca teóricamente siempre pierde. Pero lo que quiero decir en el fondo es que 5 euros es el valor esperado para el juego "si hubiese" un lÃmite de 9 caras seguidas. Esto significa que tienes una posibilidad entre 1024 de conseguir que el juego no sea justo. Si por ejemplo invitamos a 100 personas a jugar a nuestro juego, ¿cuántos estarÃan dispuestos a invertir el dinero suficiente como para obtener 10 caras seguidas? Para hacer que el juego no sea justo hay que invertir mucho dinero.
Es simple, lo que hay que hacer es siempre apostar el doble que el anterior. Cuando perdamos volvemos a empezar con la apuesta inicial y como minimo siempre tendremos de ganancia la apuesta inicial. Esto se hace en ruletas en los casinos y la gente que lo hace se suele llamar "rata de casino" y aunque no sacan mucho dinero algo si que hacen.
#13 Las ratas de casino como las llamas tarde o temprano acaban desplumados ya que exponen mucho para ganar una miseria en comparacion con lo que se juegan...y tarde o temprano les llega el momento de palmarlo todo..lo que han ganado y todo lo qeu tienen porque tarde o temprano aparecera esa combinacion impensable...por ejemplo 15 veces seguidas negro en al ruleta..con eso ya lo palmas todo.estamos hablando de llegar a u npunto de tener que apostar 60.000 euros para ganar tan solo un euro. El que aun piense en hacerse rico con este metodo que s elo repiense un poco
¿A nadie se le ha ocurrido que en realidad es más bien fácil conseguir que siempre o casi siempre que tires la moneda te salga cara (o cruz, si es lo que quieres) a base de práctica? :D bueno, según cómo tires la moneda claro, hablo de elevarla como mucho unos 30 - 40 cm. y cogerla al vuelo, no de lanzarla con fuerza y recogerla del suelo cuando caiga. Y ya si fabricas un robot que lo haga...
Supongo que no será eso lo que pregunta el post, pero a mà me parece haber encontrado un error en lo que dice: la base del post es que para que el juego sea justo el precio debe de estar acorde con el "valor esperado", hasta ahà bien. Pero primero se dice que "(...) Esto no es más que la ganancia promedio que obtendremos al jugar a dicho juego. (...)" y luego, hablando del juego propuesto por Bernoulli se dice que su valor esperado es infinito. Yo no creo que sea asÃ, lo que es infinito es su "valor potencial" por decirlo de alguna manera pero no veo que lo pueda ser la ganancia promedio.
MagnÃfico artÃculo Ignacio, me gustan los post que te hacen pensar y razonar.
Creo que el principal problema es el tiempo. Si como dice Ignacio (comentario 11, último párrafo), tenemos un tiempo y un dinero infinitos para invertir, nos separamos del mundo real para entrar en el mundo de las probabilidades matemáticas (no creo que nadie tenga tiempo y dineros infinitos...). Asà que, las probabilidades de obtener un precio justo desde un punto de vista realista son escasÃsimas. Sin embargo, desde un punto de vista matemático... Aquà es donde me surgen las dudas y me quedo atascado, pero supongo que la posibilidad de invertir de una forma infinita tendrá mucho que ver (recuerdo el artÃculo de "El teorema de los infinitos monos"). Según ese artÃculo, si intentamos una cosa (una cosa que tenga alguna posibilidad de ocurrir claro) de una forma infinita, acabará sucediendo. Seguramente, aquà se hallará la respuesta, pero ahora mismo no llego a comprenderlo.
PD: Ignacio, vas a publicar una 2ª parte ¿verdad? Espero que la expliques de una forma sencilla, porque ahora mismo estoy hecho un lÃo :).
Creo que la esperanza matemática está bien calculada y es infinita.Supongo que es en la interpretación de esta medida estadÃstica donde está el problema. Esperaré a ver la solucción.
#7 pero si tienes liquidez para seguir duplicando la apuesta, cuantas probabilidades hay de que pierdas 20 veces, la cuestión es simplemente tener suficiente liquidez para apostar mucho y ganar poco.- con mucho dinero puedes ganar poco, pero más de lo que ganas por hora trabajando.-
Creo que hay que tener en cuenta la ganancia esperada jugando n veces.
Si como comentas el valor justo seria 500€ jugando mil veces, aunque la probabilidad de ganar 16€ en una partida sea solo del 6,25%, vamos a jugar mil veces, ya es eso.
Es poco intuitivo pero debe ser asi, de media ganas 0,5 por partida, si juegas mil veces puedes esperar ganar unos 500€.
Supongo que el tema va tambien por que si juegas infinitas veces al final acertaras una partida con ganancia infinita, que salen caras infinitas veces sin parar. Claro, jugando infinitas veces...
En el juego de los dados las variedades de premios en una partida estan acotadas, son solo dos, o ganas 7 o ganas 1. En cambio en este otro las variedades de posibles premios son infinitas, incluyendo la partida con ganancia infinita, tambien entra en la posibilidades. Aunque esa partida nadie la puede jugar (no te quedaria tiempo para disfrutar el tiempo, siempre tirando la monedita ;-)
De todas maneras para jugar infinitas veces tendrias que pagar el valor esperado, infinito, infinitas veces, con lo cual el infinito que acabarias pagando compensaria el que ganarias, por eso es justo, pero a mi me parece que seria un infinito mas 'gordo' que el que ganarias.
Aunque de hecho podrias ganar la partida infinita no solo una vez sino infinitas...
Y no se que tendria que decir hacienda de todo esto!
"Una pista: el dinero no vale lo mismo para los matemáticos que para el común de los mortales."
Pues claro, nosotros usamos "monedas" (que pueden ser "cacahuetes", "burros", o simplemente ganancia x)
Ah, y si fuese dueño de un casino e implantara este juego, jugarÃa con una única moneda, todos los dÃas.
Antes testadas y contadas las veces que se saca cara.
Entonces escribo una distrubución estadÃstica y sitúo valores centrales tales como la moda, mediana y media (con esos creo que sirven, no hacen falta no-centrales).
Una vez que se establezca un valor medio entre esas 3 (me fiarÃa más de la moda), subo un poco el precio.
Ejemplo, la moda de este juego son 3 tiradas, lo cual tengo que pagar 8 euros (2³), entonces pondrÃa un precio de 10 euros.
Desde un punto de vista lógico, jugarÃa al ser consciente de que el precio es justo. Lo que ocurre es que mi mente de primate no está preparada para hacer cálculos emocionales con grandes cifras y menos aún cuando está por medio la probabilidad, para la que estamos particularmente mal dotados. Por ejemplo, casi todo el mundo piensa que jugando a la primera decena de la loterÃa hay menos posibilidades de ganar porque no recuerda que haya tocado nunca un numero de 1 cifra. Tambien suele creerse que el hecho de haber obtenido cinco caras seguidas reduce la posibilidad de que vuelva a salir cara, creyendo que el pasado condiciona el futuro. Pero hay que tener en cuenta que jugando 1000 veces puedes ganar una cifra realmente astronomica (si todas salen ok) y que esa posibilidad también pesa en el coste de la jugada. Estamos acostumbrados a jugar contra premios limitados, pero aquà el techo del premio es astronomicamente elevado y esa circunstancia desbarata todas nuestras percepciones de primates-mal-preparados-para-las matemáticas-estadisticas. Por otro lado la cifra que podrÃamos ganar es tan brutal que tal vez el beneficio marginal no nos compense. No nos interesa, proporcionalmente, premios mayores que toda la fortuna del planeta porque ¿para que quieres tener dinero para comprar varias veces el planeta? Saludos.
Pues visto que pagar infinito no parece justo (ni muy inteligente por parte del jugador), un posible precio justo a pagar es: Que se pague el premio que recibió el anterior jugador o bien que se pague la media de lo que han ganado los anteriores jugadores.
interesante
AHGGGGGGGGGGGG mi cerebro acaba de hacerse añicos no ha podido aguantar tantas cifras y probabilidades en tan poco tiempo!
en fin... esperaré a la solución... xD
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