El problema de la Aguja de Buffon

Alfonso Jiménez 28 de agosto de 2006 9 comentarios

La aguja de Buffon es un problema de probabilidad geométrica planteado y resuelto en 1777 por el matemático y naturalista francés Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon. El problema se presenta con un plano dividido en rectas paralelas equidistantes a una unidad m y con una aguja de longitud l tal que l ≤ m. El problema demuestra que la probabilidad de que la aguja corte alguna de las rectas es aproximadamente 2/π. Para determinar la probabilidad arrojaremos al azar la aguja sobre el plano trazado. Podrá darse dos casos: que la aguja corte alguna recta o que no cruce ninguna. Cuando no cruce (caso 1) tomaremos la distancia s como la longitud desde el punto medio de la aguja hasta la paralela que se encuentre más próxima y cuando se produzca una intersección (caso 2) definimos α que será el ángulo que forma la aguja con la paralela.

Posibles Casos

Obtenemos una variable aleatoria (α, s) que su valor dependerá del caso. Sus valores quedan definidos en los intervalos (0≤α≤π) y (0≤s≤m).

Vamos a describir matemáticamente la probabilidad de que se produzca el caso 2, es decir, que la aguja corte a una paralela. La probabilidad p es el área de la sinusoide dividido entre el área del rectángulo [0,π]x[0,m] (cociente entre casos dados y casos posibles).

Probabilidad

Si resolvemos la integral obtenemos como resultado final

Probabilidad

En la ecuación podemos sustituir p por C/L, dónde L será el número de lanzamientos realizados y C el número de cruces de la aguja con una recta. Si despejamos podemos obtener una aproximación de π que quedaría de la siguiente forma

Aproximación de Pi

Si se da el caso de que la aguja tiene el tamaño máximo (l=m) tenemos que

Aproximación de Pi

Aquí tenéis los resultados de un experimento que he realizado a partir de este método usando una aguja de la misma longitud que la distancia entre las líneas paralelas. Vemos que el cociente entre lanzamientos (11700) y el número de cruces (7444) se aproxima bastante a π/2.

Prueba

Más información | Applet simulador del problema de la Aguja de Buffon
Más información | El Problema de la Aguja de Buffon en la Wikipedia

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Comentarios

  • 1 Avatar
    guyamo | 1 estrellas
    ↓

    Hummm. Fancamente interesante. Sin embargo, y sin entrar en mucho detalle, si definimos s como la distancia desde el punto medio de la aguja hasta la paralela más próxima, y éstas están separadas por una distancia m, el intervalo será [0,m/2], no [0,m], de modo que hay un factor 2 por ahí que se ha debido de resbalar.

    28 ago 2006 18:25 Permlink
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  • 2 Avatar
    Alfonso Jiménez | 1 estrellas
    ↓

    Buenas guyamo. Ummm tienes razón que s nunca tomará un valor mayor que la mitad de m, pero por la misma razón en el caso que la aguja cruce la recta, el intervalo de valores de α se reduciría también a 0 (caso donde la aguja se encuentre totalmente alineada con la recta) y π/2 (caso donde la aguja se encuentre dispuesta perpendicularmente respecto a la recta). Si modificamos los intervalos la función de probabilidad cambia. Aún así una de las fuentes dónde había leído el desarrollo de la función p afirma que los intervalos son [0,π] y [0,m]. Me encanta que le déis vueltas ;)

    Saludos!

    28 ago 2006 19:11 Permlink
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  • 3 Avatar
    guyamo | 1 estrellas
    ↓

    Gracias por el enlace Alfonso. Ahora que he podido dedicarle más tiempo ya me queda claro.

    El resultado es correcto tal cual lo formulas pero, siendo consistentes, en ese caso la distancia s deberíamos haberla definido como la que existe entre la paralela considerada y el punto más alejado a la misma de la aguja, no su punto medio. De esa manera es cierto que l*sen(a) > s es condición de corte y los intervalos son los enunciados.

    Si definiéramos s desde el punto medio y a la paralela más cercana, como se dice, el intervalo sería [0,m/2] PERO la condición de corte pasaría a ser l/2*sen(a), obteniéndose de nuevo, como no podía ser de otra forma, el mismo resultado.

    No conocía este problema, pero me parece muy didáctico y apropiado para ir cogiéndole el gusto a las matemáticas... me lo apunto :-)

    28 ago 2006 23:52 Permlink
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  • 4 Avatar
    Dani | 1 estrellas
    ↓

    El problema es interesante. Sólo un apunte, deberías definir n antes de mencionarla.

    28 ago 2006 23:57 Permlink
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  • 5 Avatar
    jose | 1 estrellas
    ↓

    A mi lo q mas me gusta es el mundial q hizo , q gran portero es.

    29 ago 2006 00:33 Permlink
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  • 6 Avatar
    Alfonso Jiménez | 1 estrellas
    ↓

    guyamo: Claro si consideramos el punto medio habría que hacerlo para ambos casos. Así la función de probabilidad resulta lo mismo. A mi me salía Pi=4L/C (para l=m) cuando no contemplaba que el cateto del segundo caso se reduce a la mitad, por lo que como bien has dicho es el mismo resultado Pi=2L/C. Gracias por la aclaración. Un saludo!

    dani: definir n? no menciono ninguna n en todo el artículo :S

    29 ago 2006 02:16 Permlink
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  • 7 Avatar
    Daniel Alomar | 1 estrellas
    ↓

    Buenas,

    Pues esta demostración me la hizo mi "profe" de cálculo infinetisimal (una mezcla de Mr. Bean y Ozores) en la Escola Industrial de BCN hace unos cuantos años (hacia el 92), y para los que estábamos en clase, fue una flipada de cajón.

    Daniel

    29 ago 2006 08:16 Permlink
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  • 8 Avatar
    pablo | 1 estrellas
    ↓

    A mi tambien me confundio al principio. Lo que menciona como 'n' debe ser la letra de Pi que no se ve clara.

    muy bueno el problema!!!

    7 sep 2006 05:22 Permlink
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  • 9 Avatar
    Alfonso Jiménez | 1 estrellas
    ↓

    Ummm cierto, es a causa de la fuente. Pero vamos, Pi aparece varias veces en las imágenes. A ver si nos fijamos más y usamos la cabeza para otra cosa que no sea criar pelo! :P

    Gracias y saludos a todos :)

    7 sep 2006 18:40 Permlink
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