La geometría fractal es una de las cosas más vistosas de la matemática, generando figuras de una simetría compleja y desconcertante para el observador no experto. Los artistas la utilizan para hacer cuadros, y muchas ramas de la ciencia para dar explicación a multitud de fenómenos y situaciones inexplicables según la geometría clásica no-fractal.

Una de las aplicaciones más sencillas que tiene la geometría fractal es el cálculo de la edad de los pinos jóvenes. Las plantas en general son una fuente de ejemplos casi inagotable de fractalidad en la naturaleza. Los pinos, en concreto, presentan unas pautas de crecimiento muy sencillas que permiten incluso al observador menos experimentado calcular su edad muy fácilmente.

La geometría fractal se caracteriza por ser iterativa. El pino en crecimiento refleja esta iteratividad del siguiente modo: en primavera de la punta del tallo principal salen varias ramas a una misma altura en varias direcciones, que continúan creciendo durante la temporada favorable. En invierno este crecimiento se frena, pero al llegar la primavera el patrón se repite: de la punta de cada rama salen a su vez varias ramas en diferentes direcciones. Y así sucesivamente cada año. De este modo las ramas más bajas del pino son más complejas que las superiores y más ramificadas. Contandos los nudos de ramificación de las ramas bajas se puede conocer la edad del árbol.

Este método es aplicable hasta que el árbol tiene 20 ó 25 años. A partir de entonces las ramas más bajas van muriendo por falta de luz y hay que aplicar otras técnicas.

La geometría fractal y los diversos constructos matemáticos que se basan en ella son fuente de asombro y admiración por parte de los curiosos, pero también tienen múltiples aplicaciones en muchas del saber, incluidas la biología y ecología. Ejemplos tan manidos en biología como sorprendentes son la geometría fractal de los helechos, los alveolos pulmonares o los capilares sanguíneos. Pero hay muchos otros aspectos de la naturaleza que se pueden observar desde el punto de vista de la fractalidad, como el uso diferencial del territorio.

Supongamos que 20 focas necesitan una determinada longitud de costa para criar, por ejemplo 1 metro/foca. Su escala de medida está relacionada con su tamaño, y para esas focas la cantidad de recurso disponible es, supongamos, una cómoda playa de, a ojo, 20 metros. Sin embargo, en esos mismos “20” metros de costa, un mejillón mucho más pequeño percibe no 20, sino 120. Y no es que el mejillón “perciba” 120 metros, sino que “hay” realmente 120 metros de costa (medidos a otra escala). Y si es una bacteria que se fija a las rocas, no tendrá 120 m., sino kilómetros de costa en esa misma playa que para una foca son solamente 20 metros.

Es decir: con una geometría clásica podríamos pensar que en la naturaleza un organismo 10 veces más pequeño que otro estará en una densidad de individuos 10 veces mayor en un mismo lugar. ¡Y sin embargo esto casi nunca ocurre!: las especies de pequeño tamaño presentan una densidad de individuos casi siempre bastante (o muy) superior a la que les correspondería según la geometría clásica.

Para resolver esta cuestión y otras la geometría fractal es, hoy en día, una herramienta indispensable para los estudiosos de los ecosistemas.

Alan Turing es, entre otras cosas, el precursor de la computación. Su famosa Máquina de Turing es un compuesto abstracto o teórico que simula el comportamiento de cualquier tipo de ordenador. Alan Turing fue el consolidador formal del concepto de algoritmo, que es la base del funcionamiento de todos los ordenadores actuales. Turing también dedicó gran parte de su ingenio en desarrollar teorías acerca de la inteligencia artificial (uno de sus logros más importantes fue el diseño del Test de Turing, que permite determinar si una entidad es inteligente o no).

¿Por qué el logotipo de Apple es una manzana precisamente mordida? Alan Turing había participado en la II Guerra Mundial como un descifrador de códigos nazis y había accedido a información muy privilegiada y restringida del ejército inglés. Por ello cuando terminó la guerra se le vigiló estrechamente. Para desgracia de Alan Turing su homosexualidad era considerada un delito en aquella época, y cuando denunció un robo en su casa (en el que un amante suyo estaba implicado), las investigaciones llevaron a detener al propio Turing por perversión y homosexualidad.

Forzado a elegir entre la cárcel o un tratamiento hormonal, escogió éste último, lo que le llevó a un declive físico y psicológico que truncó su carrera y a la postre su vida. El 7 de junio de 1954, a los 42 años de edad, murió por envenenamiento con el cianuro contenido en una manzana, a la que solo llegó a dar un mordisco.

Unos hablan de suicidio, otros de tenebrosas conspiraciones, y otros (como su madre) quieren creer que fue un simple descuido de Turing en la manipulación de las sustancias de su laboratorio. Lo que es seguro es que este hombre y esta manzana tienen una página escrita en la Historia que será difícil de borrar.

Las matemáticas se pueden utilizar en diversas materias, diríamos que prácticamente en todas. En el caso de la medicina, las técnicas matemáticas son utilizadas en la elaboración de fármacos que permitan frenar el avance de los tumores.

Un ejemplo lo tenemos con los trabajos que se realizan en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla, los expertos trabajan con los tumores cerebrales, es decir, intentan identificar variables como la densidad de las células cancerígenas, la presión o la cantidad de nutrientes, diversos factores que permiten elaborar una ecuación en derivadas parciales (relación entre una función y varias variables independientes) sobre el comportamiento del organismo y que contienen información sobre la metástasis (introducción de una infección en otros órganos) o la angiogénesis (crecimiento de una nueva red de vasos sanguíneos).

Las matemáticas permiten obtener los valores numéricos fruto de las ecuaciones elaboradas y pueden proporcionar una descripción de la evolución que presenta el tumor desde el inicio. Se utilizan los tumores cerebrales porque son los que más tarde se suelen diagnosticar, ya que sólo se conoce su existencia cuando aparecen los síntomas resultantes de la destrucción del tejido cerebral o cuando la presión sanguínea ha aumentado en el cerebro dando como resultado cefaleas severas, crisis epilépticas, vómitos, etc.

Las ecuaciones no curan, eso es evidente, pero colaboran en el diseño de terapias que mejoran, dentro de sus posibilidades, la situación del enfermo al conocer exactamente todo el proceso tumoral. Los datos numéricos sirven para diseñar fármacos que actúan con más eficacia en cada etapa del tumor, dependiendo del tumor, se logrará con estos tratamientos que los pacientes puedan alargar un poco más su vida.

Vía | Terra
Más información | El País
Más información | Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla
Más información | Wikipedia

Unos estudiantes de posgrado consiguieron este número de movimientos usando una supercomputadora que en 63 horas pudo resolver el rompecabezas mecánico. Ellos aseguran que incluso podrían reducir el número de movimientos.

¿Pero qué es el Cubo de Rubik? ¿y el número de Dios?

El cubo de Rubik (o cubo mágico, como se lo conoce en algunos países) es un rompecabezas mecánico inventado por el escultor y profesor de arquitectura húngaro Ernö Rubik en 1974. Se ha estimado que más de 100 millones de cubos de Rubik o imitaciones han sido resueltos a lo largo del mundo entero.

Su mecanismo sencillo sorprende tanto desde el punto de vista mecánico, al estudiar su interior, como por la complejidad de las combinaciones que se consiguen al girar sus caras.

El invento es un tipo de rompecabezas consistente en un cubo en el que cada una de sus seis caras está dividida en nueve partes, 3x3, lo que conforma un total de 26 piezas que se articulan entre sí gracias al mecanismo de la pieza interior central, oculta dentro del cubo. El resto de las piezas es visible y se pueden observar tres tipos que no pierden su condición a lo largo de los múltiples movimientos que se realizan.

El estudio los coloca más cerca del hallar el denominado “Número de Dios” que se refiere a la cifra menor de combinaciones para rearmar el cubo de Rubik.

Investigaciones teóricas sugieren que el “Número de Dios” podría ser menos de 20.

Vía | BBC Ciencia
En Genciencia | ¿Cómo resolver el Cubo de Rubik?

Desde que arrancó Genciencia, hemos hablado de muchos tipos de números: primos, complejos, de Hardy Ramanujan, de Mersenne… pero lo cierto es que en la vida diaria todos esos conceptos apenas se usan. La estrella de las matemáticas ordinarias es el conjunto de números naturales y, dentro de éstos, los múltiplos de 5 y 10, conocidos popularmente como “números redondos”. Es por eso que he considerado que sería una buena idea dedicar una entrada a conocer mejor uno de esos números redondos: el 100, quizás el más usado de todos gracias a la omnipresencia de los porcentajes.

El 100 es el número natural que se sitúa entre el 99 y el 101, en notación índice se representa como 10², los numeración romana le asigna la letra C, en China se usa el caracter 百 (bǎi) y en hebreo ק (kuf).

Su ordinal es centésimo. Para significar cien podemos usar el prefijo latino centi- o el griego hecto-. En binario, lo representamos mediante la cadena 1100100, en sistema octal se corresponde con 144, en duodecimal 84 y en hexadecimal 64.

La factorización de 100 es 2²·5². Lo podemos obtener como resultado de sumar los nueve primeros números primos (2+3+5+7+11+13+17+19+23) o de otros dos primos (47+53). También tendremos nuestro número estrella si sumamos los cubos de los cuatro primeros números integrales (1³+2³+3³+4³).

Tiene como divisores propios 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25 y 50 y es divisible por el número de primos que tiene por debajo, que son 25.

Para terminar, recordar que 100ºC es el punto de ebullición del agua destilada al nivel del mar y que 100 es el número atómico del elemento actínido fermio.

Después de escribir este post, debo reconocer que el 100 ya no me parece un número tan sencillo como antes.

Más información | 100 en Wikipedia
En Genciencia | El Número de Hardy-Ramanujan, Confirmado: 44º Número Primo de Mersenne encontrado, Números complejos

El Índice de Masa Corporal (IMC o BMI en inglés), o de Quetelet, es una de las medidas antropométricas más utilizadas en la prática médica diaria. A través de una sencilla fórmula matemática, pretende definir cuáles son los parámetros más saludables de masa y expresar a través de un simple número el grado de delgadez o gordura de una persona.

Concebido por el belga Adolphe Quetelet a mediados del siglo XIX, de ahí su nombre, el IMC se utiliza de forma sistemática desde los años 80, cuando la obesidad se convirtió en un problema epidemiológico importante en la población occidental. Para calcularlo, usamos la siguiente fórmula:

Para individuos con una composición corporal media, el IMC se interpreta como sigue: 18,5-25, peso óptimo; inferior a 18,5, bajo peso y por debajo de 17,5, desorden alimenticio como anorexia; superior a 25, sobrepeso y superior a 30 obesidad. Un IMC mayor de 40 implica obesidad mórbida y una expectativa de vida notablemente acortada.

Sin embargo, la verdadera utilidad del IMC no es la de diagnosticar un trastorno del peso en una persona, sino más bien la de clasificarla en base a parámetros poblacionales. Además, como hemos visto antes, los baremos sólo son válidos para pacientes con composiciones corporales medias, y perderían su utilidad en personas muy musculadas, en las edades extremas de la vida (niños y ancianos), en casos de estructuras óseas muy pesadas e, incluso, hay quien asegura que no son comparables entre mujeres y hombres.

Debido a estas limitaciones, se han hecho distribuciones de IMC para niños y en los atletas se usan otras medidas antropométricas como las que se basan en la cantidad de grasa corporal. El uso clínico más relevante del BMI es para diagnosticar los casos de bajo peso corporal en situaciones de anorexia nerviosa y otros desórdenes alimenticios, donde el IMC inferior a 17,5 constituye uno de los criterios diagnósticos aceptados por la OMS.

Precisamente por el frecuentísimo uso de IMC, hay muchos programas dedicados al cálculo de este parámetro. Como ejemplo os dejo uno para Windows, otro para Mac y uno on-line. En todos los casos se pueden usar unidades del sistema métrico o anglosajonas.

Más información | IMC en Wikipedia
En Genciencia | Hormonas contra la obesidad

Cada día que pasa, los medios dedicados a la divulgación científica, se hacen eco de un mayor número de noticias relacionadas con la biologia, y más particularmente con los ácidos nucléicos, las proteinas y la ingeniería genética. Sin embargo, existe socialmente una cultura algo precaria respecto a cuestiones básicas de la biología. En esta entrada se intentará dar una respuesta sencilla a la pregunta de un amigo: ¿qué es el código genético?

Para comenzar, el código genético es justamente eso: un código. Según define la Real Academia Española (RAE), un código es “una combinación de signos que tiene un determinado valor dentro de un sistema establecido”, o también, “un cifrado para formular y comprender mensajes secretos”.

El caso concreto del código genético puede explicarse como un diccionario molecular. A través de él se relacionan los ácidos nucleicos con las proteinas traducidas a partir de ellos, las cuales tienen la responsabilidad de lo que se ha dado en llamar la expresión génica.

Para comprender esto, es necesario conocer las estructuras moleculares de los protagonistas: ácidos nucleicos y proteínas. Em ambos casos se trata de polímeros macromoleculares, o lo que es lo mismo, grandes moléculas constituidas por la unión de otras moléculas más pequeñas, los monómeros. Los monómeros que constituyen los ácidos nucleicos son los nucleótidos y los que constituyen las proteinas son los aminoácidos.

Así, el código genético establece la relación existente entre las 4 bases nitrogenadas, presentes en los nucleótidos que constitutyen los ácidos nucleicos, y los 20 aminoácidos en que se basan las proteínas. El misterioso “secreto”, que se menciona en una de las acepciones que contempla la RAE, radica en averiguar como se establece dicha relación.

Los problemas aparecen al intentar emparejar 4 elementos, las bases nitrogenadas, con 20 los aminoácidos. A ningún lector se le escapará que la relación no puede ser de una base por cada aminoácido, ya que el número de estos es superior al de aquellas. Será necesario, pués, agrupar varias bases hasta conseguir cifrar todos los aminoácidos.

La agrupación de 2 bases nitrogenadas, tampoco resuelve la cuestión, ya que, de esta manera, se consiguen 16 variaciones, todavía insuficientes. Un matemático, enseguida se daría cuenta, que se requieren, como mínimo, grupos de 3 bases nitrogenadas para poder codificar todos los aminoácidos. Los grupos de 3 dan lugar a 64 posibilidades (VR{4,3}=4³=64). Con esto se excederían las 20 posibilidades que se buscaban, pero por el momento no debe ser un motivo de preocupación.

En resumen, cada uno de los 20 aminoácidos estaría cifrado, como mínimo, por un grupo de 3 bases nitrogenadas. Estos grupos se conocen en biología como tripletes de bases, o codones. Las secuencias de codones en el ácido nucléico determina el orden de los aminoácidos en la proteina. El código incluiye, además, algunos tripletes que actuan como espaciadores e iniciadores de la síntesis de proteínas.

Una de las características más significativas del código genético es que es universal, es decir, todos los seres vivos comparten el mismo código, lo cual resulta muy útil en la experimentación con ácidos nucléicos (biotecnología o ingeniería genética).

Se han descubierto, sin embargo, algunas excepciones al código genético, en organismos bacterianos. Por otra parte, en las mitocondrias, orgánulos celulares relacionados con la producción de energía metabólica, el código genético es distinto, aunque se transmite de forma independiente.

Otra de las particularidades del código genético, ya comentada, es que es degenerado. Este concepto se refiere a la existencia de un exceso de codones. Ocurre que los distintos aminoácidos están cifrados por diferente número de codones, algunos sólo por uno y otros por dos o por tres, existiendo incluso tripletes que no codifican ningún aminoácido.

En los organismos vivos la expresión de los genes tiene lugar a través de la biosíntesis de proteínas, las cuales como se ha dicho, son las responsables de ejecutar las instrucciones contenidas en los ácidos nucleicos.

Más información | Código genético nuclear
Más información | El Código Genético en la Wikipedia

Genciencia | Plantas estresadas responden con cambios en el código genético

Polar Clock es el nombre que Pixel Breaker, su creador, ha dado a un reloj con calendario muy particular y un tanto geek en el que el paso del tiempo es expresado en forma de arcos de circunferencia, como se ve en la captura que acompaña al post.

Representa la fecha de nuestro sistema operativo. Para la hora utiliza tres circunferencias: hora, minutos y segundos que van creciendo en tiempo real hasta cerrarse. En el interior de ésta, y con menor diámetro, el calendario nos da el mes como fracción del año, el día del mes y el de la semana. El color de las franjas también varía según avanzan.

Hace una semana que se liberó la versión 2.0 del reloj y está disponible para ver on-line en forma de animación flash y para descargar como salvapantallas de Windows o de MacOS X. Esencial para los amantes de las matemáticas en general y de la geometría en particular.

Enlace | Polar Clock v2
Vía | Microsiervos
En Genciencia | Factorizando el tiempo

Cabe decir que Factor Clock está basado en la viñeta Factoring the Time de la tira cómica XKCD.

Vía | Gaussianos

Hoy hemos tenido noche de fútbol, en la cual los equipos españoles que aun sobreviven han obtenido resultados positivos en los cuartos de final de la Copa de la UEFA. Los resultados han sido los siguientes:

Sevilla FC (ESP) 2 -1 Tottenham (ING)
Bayern Leverkusen (ALE) 0 – 3 CA Osasuna (ESP)
RCD Espanyol(ESP) 3 – 2 Benfica (POR)
AZ Alkmar (HOL) 0 – 0 Werder Bremen (ALE)

Imaginemos que solamente hay partido de ida y se mantienen los resultados actuales. Pasarían a la siguiente ronda el Sevilla FC, el CA Osasuna, el RCD Espanyol y el Werder Bremen (causa injustificada). Tras un experimento aleatorio, vamos a imaginar que las semifinales quedan emparejadas de la siguiente manera:

Sevilla FC (ESP) vs Werder Bremen (ALE)
CA Osasuna (ESP) vs RCD Espanyol (ESP)

Contesta a la siguiente pregunta en 10 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que gane la Copa de la UEFA un equipo español?

PD: ¿Seguro?

donde el número de radicales es igual al número dado N. Con esta solución general, se dejó de jugar en la Universidad de Göttingen.

Referencias | Històries de la Ciència
Referencias | Wikipedia

Fue alumno de los aventajados matemáticos de su siglo Lagrange y Laplace, aunque fue preparado para sacerdote. En su labor investigadora destacan sus trabajos en el campo de la termodinámica.

En 1827, escribió un tratado en el que indicaba que la acumulación de gases en la atmósfera provocaría una subida de temperatura en la Tierra, efecto que, años más tarde, pasaría a denominarse “Efecto Invernadero”. Introdujo también el concepto del “Calor Negro”, que se basa en un balance entre la radiación inrarroja ganada y perdida de los planetas mediante cambios en la temperatura.

Paradójicamente, la Transformada de Fourier, que permite pasar señales del tiempo al dominio de la frecuencia y viceversa, no fue descubrimiento suyo, sino que se nombró así en su honor, así como un asteroide descubierto en 1992.

Murió en París en 1830, siendo secretario perpetuo de las secciones de Matemáticas y Física de la Real Academia de las Ciencias Francesa y dejando a medio resolver una teoría sobre ecuaciones que fue editada y publicada por Navier, alumno suyo.

Más Información | Wikipedia
Más Información | Ministerio de Educación
Más Información | Matemáticos

Existe la página web oficial del Día de Pi (PiDay.org), donde podéis ver discusiones, aprender curiosidades sobre el número Pi o incluso comprar algun artículo.

Más información | Wikipedia
Más información | Genciencia

• Algoritmos y estructuras de datos
• Geometría discreta y combinatoria
• Aplicaciones de la matemática discreta
• Fundamentos teóricos de la matemática discreta

Para conocer más información acerca de este evento, se puede echar un vistazo a la página web de la Universidad de Cádiz.

Sea , calcular y explicar el procedimiento:

a)
b)

Nota: Para el apartado b) no es necesario realizar 2005 productos matriciales.

• 2: Si el número es par


• 3: Si la suma de sus dígitos es divisible por 3


• 4: Si los dos últimos dígitos es un número divisible por 4


• 5: Si el último dígito es 5 o 0


• 6: Si el número es par y divisible por 3


• 7: Si al suprimir la cifra de las unidades y restar del número que queda el doble de la cifra suprimida queda un número multiplo de 7


• 8: Si el número es divisible por 4 y el resultado es par


• 9: Si la suma de sus dígitos es divisible por 9


• 10: Si el último dígito es 0


• 11: Si el valor absoluto de la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma de las cifras de lugar impar

Sacado de Prime Number Determiner

Vía | Gaussianos

Referencias | Jo resolent el cub de Rubik (catalán)
Referencias | Speedcubing.com

Referencias | Experimento pi10k