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18 octubre 2008

Quiz Genciencia: cumpleaños

Plantearemos ahora una cuestión de probabilística, que quizá se pueda resolver con la experiencia personal de cada uno o requiera hacer algún cálculo mental.

¿Verdadero o falso?

En una reunión de 25 personas es bastante probable que dos personas coincidan en su fecha de cumpleaños. Concretamente: es más probable que la posibilidad contraria (que nadie coincida).

Os animamos a plantear vuestras sugerencias y posibles soluciones a la pregunta planteada. Quizá también podáis aportar datos reales al respecto (¿ocurre esto entre vuestros compañeros de trabajo? ¿íbais a clase con alguien que cumpliera el mismo día que vosotros? ¿os parecería sorprendente?).

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Tags: cuestión, probabilidad, quiz
Comentarios (22) | Trackback

Comentarios

La pregunta es si la afirmación "es más probable que 2 de 25 personas coincidan en su fecha de cumpleaños" es verdadera o falsa, no?

Es decir, la probabilidad de que 2 personas de 25 coincidan en su fecha de cumpleaños (A) es mayor que no coincida ninguno (B), esto es A>B.

A)
La probabilidad de que dos personas tengan la misma fecha de cumpleaños es de 1 entre 365.

Ahora calculamos la probabilidad de que todos coincidan en fecha de cumpleaños y lo restamos de 1, para calcular la probabilidad de que ninguno coincida.

B)
La probabilidad de que todos coincidan es que 2 coincidan Y tres coincidan Y cuatro coincidan…
1/365 1/365 * … 1/365 (25 veces)=1/(365 EXP25)

La de que ninguno coincida es de:
1 - 1/(365 EXP25) = (365 EXP25 - 1)/(365 EXP25) = 1 (aproximadamente, soy ingeniero no matemático ;-))

A < /> 1/365 < 1

Por lo que la afirmación es falsa.

De todas formas, la estadística nunca se me ha dado bien :P

#1 | Escrito por panhueco | 18 oct 2008 02:40:40

Ah, la paradoja del cumpleaños :)

#2 | Escrito por Víctor Pimentel | 18 oct 2008 03:04:19

La probabilidad de que nadie coincida es:
(365/365)(364/365)*(363/365)*(362/365)*…(340/365) = [(365!)/(340!)]/(365^25) = 0.4313.
Por lo tanto la probabilidad de que al menos dos personas coincidan es de:
1 - 0.4313 = 0.5687

Por lo tanto la afirmación es correcta, es más probable que dos personas coincidan :).
Si no me equivoco el número límite es 23 personas. Para menos de 23 personas la situación se invierte.

#3 | Escrito por NachoVi | 18 oct 2008 03:04:40

¿Quién dijo miedo al ridículo?

Asignemos un número a cada invitado. Ahora, veamos que probabilidad hay de que alguien tenga la misma fecha de nacimiento que el invitado No. 1: Dado que hay 24 invitados más, y cada uno tiene 1/365,25 (el 0,25 es por los años bisiestos) probabilidades de haber nacido específicamente en la misma fecha del invitado 1, dicha probabilidad es 24/365,25 o sea, alrededor del 6.57%. Luego, para el invitado 2 (descartando por supuesto al invitado 1, cuya probabilidad ya fue calculada) tenemos 23/365,25. Y así sucesivamente… Sumamos todas esass probabilidades, dado que no se trata de eventos excluyentes (lo sumé en una hoja de cálculo, ignoro si hay una fórmula matemática para ello), y nos da un sorprendente total de 82,14% de que dos o más invitados tengan la misma fecha de nacimiento.

#4 | Escrito por Terox | 18 oct 2008 04:21:14

Como no tengo ni el mínimo basico de probabilidad (shame on me!) no puedo participar en esto. Solo puedo aportar mi experiencia.

Solo conozco a una persona que cumpla años el mismo dia que yo. En el colegio y en el instituto nunca ocurrio eso (imaginemos clases de 30). Ya en la universidad, un compañero mio los cumplia ese dia.

Sin embargo conozco personas que cumplen el mismo dia y bastantes.

Yo me pregunto si es válido hacer estos calculos de probabilidad, xq se partiria del supuesto que todas las fechas de nacimiento son probables, ¿pero es esto cierto? Es una curiosidad que tengo con mis amigos, si hay mayor frecuencia de nacimientos en alguna temporada del año o es mas o menos constante.

Nos interesa porque entre el circulo de amigos hay mayoria de junio y fechas tirando para verano.

salu2!!

#5 | Escrito por orayo | 18 oct 2008 08:46:46

Este problema lo resolvimos en el instituto en su día… Ya no me acuerdo, no he vuelto a dar probabilidad desde entonces (este año tengo Estadística en la facultad), pero creo recordar que la probabilidad de que dos personas coincidieran en la fecha de su cumpleaños era bastante alta, lo que no sé es si las soluciones que han planteado los compañeros anteriormente son correctas…

#6 | Escrito por Joan | 18 oct 2008 08:48:05

Uau, este blog es grande :)

#7 | Escrito por ▄▀▄▀▄▀| Il Tifossi | 18 oct 2008 09:01:25

Vamos a un caso real. El otro día fui al cine con cinco amigos más, y da la casualidad que la semana que viene es mi cumpleaños. De las otras cinco personas había uno que también los cumple el mismo día.
Osea que de seis personas, dos coincidian.

Saludos

#8 | Escrito por Davimaru | 18 oct 2008 14:25:15

Yo voy a aportar datos de mi experiencia también. Sólo he coincidido en toda mi vida de estudiante con una persona que cumpliera años el mismo día que yo. Sumando todas las personas diferentes con las que he coincidido en clase, estimo que unas 310 a lo largo de mi carrera estudiantil, y al ser la frecuencia de coincidencia de 1, la probabilidad es de: 1 entre 310.

De hecho esa es la única persona que conozco que cumple años ese día, el mío es el 1 de enero!!

Así pues, afirmo que la probabilidad de que coincidan es menor a la probabilidad de que no coincidan.

#9 | Escrito por kanfor | 18 oct 2008 17:29:06

Al igual que otros, yo tampoco tengo idea de cálculo de probabilidades, pero me voy a arriesgar con algunas ideas prestadas:

En un grupo de 25 personas, que 1 tenga la misma fecha de cumpleaños (nacimiento) se puede resolver con la siguiente ecuación:

1- (364/365)n, donde n= al nº de personas - 1, o sea 0.06372277209, que daría como resultado (redondeando) un 6.37%

¿Qué os parece? :-)

#10 | Escrito por alissonsj | 18 oct 2008 17:41:12

Hola, yo de nuevo.
No quedó bien el formato de la ecuación, por lo que repito:

1 - (364/365)^n

#11 | Escrito por alissonsj | 18 oct 2008 17:43:08

Qué frustrante. Sé que estoy cometiendo un error pero no puedo decir en una forma intuitiva cuál es. Lo sé porque según mis cálculos, si hubiera 365 invitados la probabilidad sería 1, lo cual evidentemente no puede ser cierto. Bastaría que dos de esos invitados tengan la misma fecha de nacimiento para "dejar al descubierto" un día.

Me huele que es una serie convergente. Por ejemplo, si tiramos al aire una moneda "N" veces, ¿qué probabilidad hay de sacar "cara", al menos una vez?. La primera vez, hay un 50%, pero ¿la segunda?. Existen 4 resultados posibles, cruz-cruz, cruz-cara, cara-cruz, cara-cara. Como vemos, un 75% tienen cara y solo el 25 no. Si lo hicieramos para tres lanzadas, tenemos cruz-cruz-cruz y otros 7 resultados posibles (2^3 sería el total de permutaciones) que incluyen una cara, por lo tanto sería 0,125.

Es evidente que las probabilidades, entonces, no se pueden sumar, como hice en mi primera respuesta. De hecho, aunque dos eventos tengan un 50% de probabilidades de ocurrir, no podemos decir que con certeza UNO de ellos ocurrirá.

Me huelo que para calcular la probabilidad de los n elementos hay que calcular una serie convergente…

Voy a hacer algunos cálculos a ver si puedo inventar el agua tibia.

Por cierto, estoy convencido que la respuesta de NachoVi es la correcta.

#12 | Escrito por Terox | 18 oct 2008 17:58:55

El problema remite a la paradoja del cumpleaños que, tradicionalmente, parece que se originó por un artículo en una revista americana de matemáticas, referido al estudio de una población de peces.

Hay que llamar la atención sobre lo fácil que es confundir los conceptos en estadística, como les pasa a "orayo" y "kanfor" en sus comentarios. No tiene nada que ver la probabilidad de que, dado un número de personas en una habitación, dos de ellas cumplan años el mismo día, al hecho de si habrá otra persona en la habitación que cumpla años el mismo día que yo. Son dos cuestiones diferentes y de solución muy dispar.

La probabilidad de que, entre 25 personas, haya 2 con la misma fecha de cumpleaños es difícil de calcular. Es más sencillo calcular el caso contrario, que no loas haya, y restar el resultado a 1 (o a 100, si hablamos de porcentajes).

Desechando los problemas que acarrearía tener en cuenta los años bisiestos, o la presencia de gemelos o mellizos, tomada una persona cualquiera, la siguiente tedrá una probabilidad de 364/365 de no coincidir con la primera (364 días de 365, no coinciden con el cumpleaños de la primera). Por la misma razón, a la siguiente persona le quedan 363 días para no coincidir, o sea, una probabilidad de 363/365.

Para 25 personas, habría que multiplicar cada una de sus probabilidades, es decir:

(364/365)(363/365)*(362/365)*…[(365-25+1)/365]

Puesto en números factoriales, nos queda 365!/[365^n(365-n)!], siendo n=25.

El resultado es, aproximadamente, 0,4313 (lo he hallado con la calculadora científica de Windows, espero no haberme equivocado). O sea, que hay un 43,13 % de posibilidades de que, entre 25 personas, no haya dos con la misma fecha de cumpleaños. Por tanto, la probabilidad de que sí haya dos personas coincidentes en su cumpleaños es de 56,87% y, por tanto, el enunciado del problema es correcto.

En cambio, si yo entro en una habitación con 24 personas, la probabilidad de que halle una que tenga mi misma fecha de nacimiento que yo es sólo de 1-(364/365)^24, es decir, 0,0637, o un 6,37%.

#13 | Escrito por vicioso | 18 oct 2008 18:18:49

Calculando las probabilidades a ojo saldría algo así como:

- Probabilidad de coincidencia de fechas de cumpleaños de dos asistentes
1/365 + 1/365 + … + 1/365 = 241/365 = 6.57%

- Probabilidad de no coincidencia
(1-1/365)*(1-1/365)*…(1-1/365) = (1-1/365)^25 =~ 0.01%

#14 | Escrito por Zep3 | 19 oct 2008 12:47:41

Parece que hay problemas con los asteriscos :/
Bueno, al menos el resultado final no se ha estropeado.

#15 | Escrito por Zep3 | 19 oct 2008 12:49:07

Vicioso un 10 por el problema de mates xD. Eso se supone que tendriamos que saberlo hacer todos los que hemos echo la ESO (aunque a veces el temario nunca se termina). Me sonaba como se hacia pero ya ni me acordaba, pero apuesto a que vicioso lo tiene perfecto.
¿no se le llamaba a este calculo de probabilidad "combinatoria"?

#16 | Escrito por Agnok | 19 oct 2008 12:51:08

Vicioso, me he cortocircuitado. Entre mis lagunas pendientes de solucionar esta estudiar probabilidad y cosas como estas me animan. Tengo que entender la distincion que me comentas.

El problema con la NEGRITA tiene que ver con los . Lo comprobe desde que a partir del primer de mis fórmulas todo el resto del comentario aparecia en negrita.

salu2!

#17 | Escrito por orayo | 19 oct 2008 18:27:12

Con los "ASTERISCOS" que usamos para indicar producto. Es el simbolo que esta en el teclado numerico, entre / y -.
MALDITO, no se muestra!!

#18 | Escrito por orayo | 19 oct 2008 18:28:10

¿Se puede plantear el problema de otra forma?

Tenemos 25 urnas que contienen 365 pelotas numeradas del 1 al 365. Si se saca una pelota al azar de cada una de las urnas: ¿la prob. de que al menos 2 tengan el mismo numero será más o menos alta que la prob. de que todos los numeros sean distintos?
Intuitivamente, en este caso, yo creo que la mayor prob. corresponde a la no coincidencia de las fechas.
(0,27397% es la prob, que tiene de salir cada bola)
El problema del ejemplo anterior es que se da por supuesto que todas las bolas tienen la misma prob. de salir y en un caso real sería necesario tener en cuenta el numero de nacimientos en cada fecha de cada año (si los asistente tienen edades distintas), de forma que si por ejemplo yo nací en un día en el que la natalidad fue muy elevada varios años consecutivos, tendré más posibilidades de encontrarme con alguien que comparta mi fecha de nacimiento que si hubiera nacido en una fecha en la que la natalidad fue muy reducida varios años seguidos.

Dicho esto, mi opinión es que la prob. de que dos personas compartan día y mes de nacimiento varia de una fecha a otra, todo depende del número de nacimientos en el día en cuestión y del intervalo de edades de los asistentes, para poder calcular los nacimientos por fecha a lo largo de varios años.

#19 | Escrito por hidalgo | 19 oct 2008 18:48:11

En mi experiencia nunca he conocido a nadie que coincida conmigo o amigos/conocidos que coincidan en fechas.
Si hablamos de calcular … ahora mismo no me apetece buscar formulitas en los apuntes :p

#20 | Escrito por topoxxxx | 20 oct 2008 17:49:52

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