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14 octubre 2008

Aquiles y la tortuga

La paradoja de Aquiles corriendo tras la tortuga es una de las más clásicas y famosas paradojas de Zenón. Este griego filósofo pretendía demostrar que todo lo que percibimos en el mundo es ilusorio, y que cosas como el movimiento eran simplemente ilusiones y no realidades. Lo cual no deja de ser un punto de vista original, incluso para un griego filósofo. Para demostrarlo ideó una serie de paradojas que “mostraban” que el movimiento no existía, que todas las distancias son infinitas, que no existe el tiempo… La paradoja de Aquiles y la tortuga consiste en una imaginaria carrera. Uno de los contrincantes (Aquiles) era el más hábil de los guerreros aqueos, y vencedor de mil batallas. Era un superhombre casi invencible, y apodado “el de los pies ligeros”. El otro contrincante (la tortuga) es un ser por todos conocido, de proverbial lentitud y bien cachazudo. Dado que Aquiles es mucho más rápido que la tortuga (supuestamente) antes de empezar decide darle un estadio de ventaja, y tras dárselo, se da el pistoletazo de salida (o se suena un cuerno, ya que en esos tiempos no existían las pistolas, afortunadamente para muchos).

Rápidamente Aquiles atraviesa ese estadio de ventaja hasta llegar al punto en el que estaba la tortuga. Ésta, de un insospechado espíritu competitivo, se había desplazado unos cuantos pasos hacia adelante. Así que Aquiles, atónito (no era muy listo) pero confiado en su enorme poderío físico, decide cruzar ese puñado de pasos, hasta llegar de nuevo a donde estaba la tortuga. De nuevo ella ¡se ha vuelto a mover! Se ve que el quelónido no tiene buen perder y Aquiles de nuevo, con renovados bríos, recorre velozmente esos centímetros que le separan del punto donde estaba la tortuga, la cual de nuevo… ¿se lo imaginan? ¡Efectivamente! La encontramos un poquito más adelante…

Y argumentaba Zenón con mucha razón que así podíamos seguir hasta el infinito, y que Aquiles jamás alcanzará a la tortuga. Y por tanto cuando vemos a un Aquiles alcanzando a una tortuga (¿quién no ve todos los días uno o dos?) es simplemente una ilusión. ¿En dónde se equivoca Zenón? En realidad no podemos decir que se equivoque (¿vivimos en Matrix? no se sabe), pero lo que está claro es que su argumento no demuestra nada: una suma de infinitos términos puede dar un resultado finito. Pero esto no se puso sobre el papel hasta que Leibniz, que era un tipo realmente listo, inventó el cálculo infinitesimal.

Así que si Aquiles recorre 1 estadio en un minuto y la tortuga 1/10 de estadio en el mismo tiempo, Aquiles recorrerá 1+ (¡caramba, se ha movido!) 1/10 + (¡otra vez!¡le ha dado tiempo a moverse!) 1/100+ (¡again! bueno, en griego) 1/1000 …etc: 1+1/10+1/100+1/1000+...= ¿cuánto? Desde luego esta suma no da una distancia infinita que requiere infinito tiempo recorrer, sino una distancia concreta: 1,111111111… estadios. Y eso Aquiles se lo hace con la gorra en un minuto y pico (1,111…), la tortuga no tiene nada que hacer.

Pero se admiten apuestas, claro…

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Tags: Aquiles, matemáticas, paradoja
Comentarios (15) | Trackback

Comentarios

¿A cuanto estan las apuestas en favor de la tortuga?
Ponme cinco euros por la tortuga si estan a 1/10 o superior.

salu2!

#1 | Escrito por orayo | 14 oct 2008 21:10:30

WTF?!? Nuestra profesora de filosofía ha puesto justo hoy este ejemplo… Viva el generador de improbabilidad infinita.

#2 | Escrito por Adrián | 14 oct 2008 22:24:45

Pues, a riesgo de evidenciar mi ignorancia, comentare lo siguiente:

Me parece muy extraño que Aquiles sólo piense en alcanzar la tortuga. A fin de cuentas, una carrera se hace para saber quien corre MAS o sea, puede llegar a determinado lugar ANTES.

Y por otra parte, es notoria la falta de previsión de Aquiles (¿será a causa de su talón?). Basta saber la velocidad a que se mueve la tortuga y él mismo para calcular el sitio exacto en el que estarán ambos a la misma "altura" del recorrido…

#3 | Escrito por Terox | 14 oct 2008 23:12:33

Aquiles intenta llegar donde esta (o estaba cuando llega) la tortuga. Evidentemente esta se habra desplazado… y ya no esta donde estaba. Asi el nunca llega a la tortuga porque su objetivo siempre es llegar a donde estaba. Siempre tendra una cantidad por avanzar aunque sea infinitamente pequeña.

#4 | Escrito por dani | 14 oct 2008 23:27:13

Dani, ¿acaso dices que Aquiles tenía poca ambición, y por eso no quería alcanzar a la tortuga, sino llegar a dónde ella estaba? (¡chiste!)

Yo me llamo Aquiles, y si bien nunca me apodaron pies ligeros, puedo certificar que eventualmente alcanzo a la tortuga. Lo probé con otros animales, y a veces funciona, a veces no.

#5 | Escrito por aqui_c | 15 oct 2008 01:48:34

infinito*0=indefinido

es decir, si sumamos infinitamente una cantidad infinitamente pequeña, podemos obtener como resultado cualquier numero.

por ejemplo, un estadio, lo podemos dividir en codos, palmos, pulgadas, etc, cada vez mas chiquito. cuando vamos a tener infinitos pedacitos? cuando estos pedacitos midan 0. pero sumados todos ellos dan un numero real, la distancia de un estadio.

pero lo mismo da un estadio, medio, cuatro, un kilometro, parsec o un milimetro, haciendo la reduccion se llega al mismo concepto, "suma de infinitos=finito" :)

#6 | Escrito por davico_rosello | 15 oct 2008 07:38:07

En la teorica es todo muy bonito, pero en la practica todos sabemos que la pobre tortuga no tiene nada que hacer contra el pies ligeros :(

#7 | Escrito por Davimaru | 15 oct 2008 07:52:42

Obviamente el fallo está en que aquiles debería intentar ir a donde va a estar la tortuga, no a donde estaba… muy listo no era, no :))

#8 | Escrito por ReZn0r | 15 oct 2008 13:14:44

Usualmente la tortuga no tiene nada que hacer contra el doctor pie. El doctor pie visita a un animal pequeño cuando saltas sobre el o lo pateas.

#9 | Escrito por orayo | 15 oct 2008 13:16:17

Es curioso, esta paradoja de Zenón provocó 2500 años después el nacimiento de una nueva rama matemática: la matemática fractal. Para ejemplo, el supercopo de nieve de Kock.

Una historia apócrifa dice que Zenón murió atropellado por un carro, quizá pensando en que, con su ventaja, éste nunca le alcanzaría. Realmente fue juzgado y condenado a torturas hasta la muerte por conspirar contra el tirano local.

Aunque tira del cálculo infinitesimal de Leibniz, la demostración de la suposición de que la suma de infinitos números puede dar un número finito se le atribuye al matemático escocés James Gregory hacia 1670.

Es una demostración extremadamente sencilla. En la serie 10 + 1 + 1/10 + 1/100…, si sumamos 10 + 1 tenemos 11; si a esto le sumamos 1/10 tenemos 11.1; si a esto le sumamos 1/100 tenemos 11.11. Si añadimos un número infinito de términos, tendremos 11.11111…, número perfectamente definido con una suma de números racionales: 11 + 1/9.

Tenemos representada la ventaja de los números infinitamente decrecientes de la tortuga sobre Aquiles: 11 + 1/9. Por tanto, Aquiles adelantará a la tortuga en el tiempo que tarde en recorrer los 11 + 1/9 metros. A las series infinitas cuya suma es finita, se les llama series convergentes.

#10 | Escrito por panhueco | 15 oct 2008 15:38:09

Yo oí la historia de Diogenes para rebatirle su negacion del movimiento le dio un puñetazo.
Cuando Zenón le increpó, éste le dijo que era imposible. Que, dado que el movimiento es una ilusión, el golpe era una ilusion.
Tambien está en la que diogenes solo echó a andar y dijo "el movimiento se demuestra andando".

#11 | Escrito por Isimac | 17 oct 2008 10:52:12

yo habia oido esta paradoja pero de otra forma: aquiles recorreria la mitad del espacio k le separaba de la tortuga, y cuando llegase a esa mitad, recorreria la mitad del tramo ke le faltaba,y asi sucesivamente, por lo k nunca alcanzaria a la tortuga puesto k fuese cual fuese la distancia k les separase, esta siempre se podria dividir en 2 partes. no se si me he explicado bien…

#12 | Escrito por Krusty | 18 oct 2008 14:12:05

El problema de Aquiles se encuentra en el hecho de que el quiera llegar a donde esta la tortuga, porque, primero tendra que detenerse para poder ver loa nueva diferencia que hay entre los dos (aunque sea muy pequeña y sea similar a 1/infinito), pero matematicamente la distancia sera sililar al limite cuando n tiende a infinito de 1/n.
POr otro lado físicamente, si la velocidad de la tortuga es 1/10 de la velocidad de Aquiles, la velocidad relativa entre los dos será de 9/10 de la velocidad real de Aquiles, lo que significa que, si Aquiles desearà pasar a la tortuga en lugar de llegar a donde esta esta, la alcanzara en 10x/9 siendo x la distancia original de la tortuga, esta deducciòn es facil despejando t en la ecuaciòn v=x/t, siendo v la velocidad relativa entre Aquiles y la tortuga.
Dados estos argumentos físicos es facil deducir dos cosas, la primera que Zenon pensaba en un arelatividad extraña y que no creia mucho en los procesos matemáticos y físicos existentes, por lo menos se sabe en que en la antigua grecia se sabia el concepto de velocidades dados los grandes matemáticos de ese entonces. La segunda deducción es que a Aquiles le faltaba un poco de visión para sus propositos y le faltaba, al igual que a Zenon, un poco de analisis matematico

#13 | Escrito por Genner13 | 27 oct 2008 01:50:10

En mis escasos intentos de leer el GEB me he topado con esta paradoja en varias ocasiones y… cuanto más la leo, menos la entiendo. Es decir, sí entiendo la historia pero no su alcance (demostraciones, falsaciones e implicaciones).

Saludos,

#14 | Escrito por Entrambosmares | 27 oct 2008 23:38:47

Deberían poner un límite de tiempo o algo para acabar la carrera.. Si no creo que el público acabaria aburriendose y lléndose.

Creo que la respuesta puede elaborarse aún un poco:

Si "va" es el número de estadios que recorre aquiles por unidad de tiempo y "vt" los que recorre la tortuga el espacio que recorre cada uno durante la carrera es:


Aquiles:   ea = vat
Tortuga:   et = vtt

Por tanto la relación entre lo que recorre aquiles y la tortuga es:


et = ea*vt/va

Cuando aquiles ha recorrido el primer estadio la tortuga se ha movido:


et1 = vt/va

Que es lo que recorre Aquiles en el siguiente paso, mientras que la tortuga se habrá movido:


et2 = et1*vt/va = (vt/va)^2

Si extrapolamos para el paso n-ésimo y restando el estadio de ventaja de Aquiles:


etn = vt/va + (vt/va)^2 +...+ (vt/va)^n
ean = vt/va + (vt/va)^2 +...+ (vt/va)^(n-1)

Por lo tanto Aquiles siempre permanecerá un paso por detrás de la tortuga. Si se dan infinitos pasos entonces las sumas anteriores son iguales (siempre que la tortuga vaya más despacio que Aquiles, pues de lo contrario la tortuga habría ganado la carrera en su momento y nadie escribiría sobre esto) y además finitas y valen:


e = vt/(va-vt)

Si estas son mayores o menores que el recorrido de la carrera dependerá de las velocidades de Aquiles y la tortuga. El caso es que Aquiles no debe ser muy listo, porque de ser menor la tortuga ganaría la carreera inevitablemente.
Por otro lado se podía haber sabido este resultado sin más que ver el espacio que recorre la tortuga antes de que Aquiles la alcance. Haciendo:


Aquiles: e + 1 = vata
Tortuga: e = vttt

Como han de encontrarse a la vez,


ta = tt = t

entonces:


vat - 1 = vtt

De lo que:


t = 1/(va-vt)

Y queda:


e = vt/(va-vt)

#15 | Escrito por patatin | 21 dic 2008 16:30:38

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