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11 junio 2008

Quiz Genciencia: Solución Infinitos

Infinito

Aquí se planteará la solución al problema de los Infinitos, teniendo en cuenta que ya hubo otro pequeño artículo con algunas pistas. Ya se vio que los naturales (conjunto infinito de números) son tantos cuanto los enteros, los pares o los impares. Ahora proseguiremos con los siguientes conjuntos: los Racionales y los Reales.

El conjunto a estudiar es el de los Racionales ( $mathbb{Q}$ ). A primera vista parecería sorprendente que este conjunto pudiera ser puesto en relación con los naturales. Simplemente basta pensar que entre 0 y 1 hay infinitos (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 2/3, 2/5, ….) pero también hay infinitos entre 0 y 0,1 o entre 0 y 0,001. De todas formas Cantor encontró una manera de relacionarlos y demostrar que “son la misma cantidad”.

Se puede hacer una tabla como la siguiente (click para agrandar):

y comenzar a contar. Si se barriera una fila (o una columna) no se acabaría nunca, ya que cada fila (y cada columna) son infinitamente largas, nunca se pasaría a la siguiente. Entonces el secreto está en contar en diagonal, como se puede ver en la figura; de esta manera se obtiene que cada número racional es barrido y por ende se le puede asignar un número natural correspondiente. El método es bastante sencillo al igual que riguroso. Así tenemos que los primeros 3 conjuntos son numerables es decir que se pueden poner en relación 1 a 1 con los naturales. Veamos qué pasa entonces con los Reales.

Para trabajar con los Reales se usa una técnica que se llama Reducción al absurdo; generalmente se plantea una hipótesis y mediante deducciones lógicas de principios ya demostrados o de axiomas se deduce la veracidad de la afirmación. Por el contrario se podría plantear la anti-hipótesis y observar a qué conclusiones se llega. Si se llega a un absurdo quiere decir que la anti-hipótesis es falsa, por lo que la hipótesis es verdadera. Veamos eso en acción:

Supongamos que tenemos todos los números entre el 0 y el 1. Los escribimos en una lista, como se puede ver más abajo (a forma de ejemplificación. )

r₁ = 0. 5 1 0 5 1 1 0…
r₂ = 0. 4 1 3 2 0 4 3…
r₃ = 0. 8 2 4 5 0 2 6…
r₄ = 0. 2 3 3 0 1 2 6…
r₅ = 0. 4 1 0 7 2 4 6…
r₆ = 0. 9 9 3 7 8 3 8…
r₇ = 0. 0 1 0 5 1 3 5…

Ahora supongamos que se pueden poner en relación 1 a 1 con los naturales, eso quiere decir que al primero le asignamos un 1, al segundo un 2, etc. Ahora es cuando llegaremos a un absurdo: podemos tomar de cada número de la lista y formar un nuevo número, de forma tal que el primer dígito sea diferente del primer dígito del número 1, el segundo diferente del segundo del número 2, etc. (números en negrita.) De esa forma construimos un número que no estaba en la lista, porque es diferente del primero, del segundo, del tercero… Pero que es parte de los números entre 0 y 1. Ahora, esto es un absurdo porque habíamos dicho que teníamos todos los números entre 0 y 1; este absurdo surge de suponer que se pueden poner en relación “1 a 1″ con los naturales, por lo que debemos concluir que los números reales “son más” que los naturales (y por ende que los enteros y los racionales también).

Se puede demostrar que existen conjuntos más grandes todavía que los reales, y más sorprendentemente, que no existen conjuntos entre los naturales y los reales. El desarrollo de este tipo de matemática llevó a grandes problemas y paradojas en la teoría de conjuntos que hasta entrado el siglo XX no pudieron ser resueltos.

Georg Cantor Esto nos muestra que efectivamente existen infinitos más grandes que otros. En matemática es usual asignarle un nombre (o un símbolo) a estos tipos de infinitos; para los primeros (naturales, etc.) se usa el $aleph_0$ mientras que para los reales se usa el $aleph_1$ y se lo llama de cardinalidad de un conjunto; existen también $aleph_2$ , $aleph_3$ , etc. que indican conjuntos con una cardinalidad aún mayor. Estos números son conocidos como números transfinitos, es decir un número mayor que cualquier número natural y la idea fue introducida originalmente por Georg Cantor, el matemático que dio impulso a este tipo de razonamientos a principios del siglo XIX.

La próxima vez que se piense en infinitos, entonces, se deberá distinguir qué tipo de infinito es el que estamos imaginando.

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Tags: infinitos, quiz, solución
Comentarios (10) | Trackback

Comentarios

No lo he entendido muy bién…

Pero igualment, infinito al cuadrado es más grande que infinito. E infinito por dos es más grande que infinito por uno, ¿no?

#1 | Escrito por Aljullu | 11 jun 2008 18:44:39

Aqui_c, en el artículo dices que "Se puede demostrar que existen conjuntos más grandes todavía que los reales, y más sorprendentemente, que no existen conjuntos entre los naturales y los reales". En realidad este hecho, conocido como hipótesis del continuo, no sólo no se puede demostrar, sino que es indecidible en ciertos sistemas axiomáticos, como el ZFC (Zermelo-Fraenkel con Axima de elección).

Por lo demás un artículo magnífico.

#2 | Escrito por Mike | 11 jun 2008 20:00:09

Yo sigo diciendo que infinito implica solamente ausencia de final. Con ello se establece que todos tienen el mismo número al final de la cadena: no tiene fin.

#3 | Escrito por daver | 13 jun 2008 14:03:30

#3, pero en ese caso no podrías operar con infinito porque no lo estas considerando un número, sino simplemente un concepto.

#4 | Escrito por Monzon | 13 jun 2008 14:30:11

y desde cuando infinito es un numero? xD nose, a mi pueden decir misa con las demostraciones que quieran, un concepto humano inventado para nombrar algo que no tiene fin decir que para depende que es mas grande o mas pekeño…

#5 | Escrito por Yevon | 13 jun 2008 17:41:14

Yevon, "pekeño" se escribe con "q" , así, PEQUEÑO, facil eh!

#6 | Escrito por enjordi | 16 jun 2008 13:04:42

Tratar de definir diferentes infinitos cómo más grandes o pequeños es como diferenciar una gama cromática de colores como tonos más oscuros o menos oscuros.

Tanto los número que podemos sacar entre 0 y 1 y desde 0 hasta infinito todos son infinitos, cada uno en su propio rango.

#7 | Escrito por EupHoriA | 18 jun 2008 07:17:13

La pregunta sería. Si el infinito es el inverso del cero y hay diversos tipos de infinito, ¿entonces hay distintos tipos de cero?

#8 | Escrito por matematicas | 19 jun 2008 10:25:53

No se de matemáticas pero…
Las matemáticas son algo abstracto. Y en espacial cuando hablamos de "infinito"
Por ejemplo, podríamos decir que la cantidad de números que hay entre 0 y 1 es infinita. Pero algo así no se aplica en la realidad.
Por ejemplo, hay una cantidad mínima de materia, e incluso una cantidad mínima de energía. Y se llega a un punto donde no se puede dividir más, y por lo tanto en la vida real (o mejor dicho en física cuántica) nada se puede dividir de forma infinita
La matemáticas clásicas no se adaptan a estos conceptos.
Podríamos inventar muchos conceptos matemáticos sobre porque hay infinitos mas grandes que otros, pero nunca se podrían aplicar en lo real, se quedarán sólo en lo abstracto.

#9 | Escrito por dnL7up | 04 oct 2008 07:05:38

a dbL7up

"Por ejemplo, hay una cantidad mínima de materia, e incluso una cantidad mínima de energía. Y se llega a un punto donde no se puede dividir más, y por lo tanto en la vida real (o mejor dicho en física cuántica) nada se puede dividir de forma infinita"

A lo mejor peco de ingenuo, pero insisto en recordar que la ciencia no tiene respuestas absolutas para todo, a pesar de que muchas sean realmente aproximadas y útiles para el ser humano, y que las tecnologías cada vez evolucionan más, que lo que hoy es A mañana puede ser B (o al menos eso ha venido ocurriendo más de una vez). Que no veamos más allá del quark y sus amigas partículas (supuestamente) elementales, no quiere decir que no haya nada. De hecho, no puede haber Nada.

El típico ejemplo de los espejos, uno delante del otro: creo que todos estaríamos de acuerdo que se daría una situación de infinito, pero si intentamos comprobarlo…

#10 | Escrito por paradigmosis | 06 oct 2008 21:34:49

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