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06 junio 2008

Quiz Genciencia: Infinitos - Sobre subconjuntos infinitos (algunas pistas)

Infinito

En los comentarios que se fueron dejando en el post en el que se plantea la pregunta de si existen infinitos más grandes que otros, encontré un tema recurrente que es el de que la parte siempre tiene que tener menos elementos que el todo; Esta concepción fue radicalmente modificada en el siglo XIX, pero había permanecido en la mente de las personas desde los griegos.

Es interesante estudiar algunas propiedades de los números, especialmente cuando su cantidad es infinita: La idea de conjunto es bastante simple: se trata de objetos que se pueden colocar juntos, como dentro de una bolsa, y que son distinguibles uno del otro, aunque sea intelectualmente. Entonces uno puede tener un conjunto de personas, por ejemplo, o un conjunto de números. En particular interesan los conjuntos de números y dentro de estos se tienen algunos más relevantes:

Números Naturales, representados por la letra $mathbb{N}$ , formados por 1, 2, 3, 4, …

Números Enteros, representados por la letra $mathbb{Z}$ , que incluyen a los naturales y agregan los negativos y el 0: … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, …

Números Racionales, representados por la letra $mathbb{Q}$ , que incluyen a los anteriores y agregan todos los que se pueden escribir como una división: -4/5, 3/8, 1, 2, 8/3, 9/5, … Es importante destacar que cualquier número con coma, que presente una cierta periodicidad, por ejemplo 0,333333… 0,142857142857… pueden ser escritos en forma de división (1/3 y 1/7, en los ejemplos anteriores.)

Números Reales, representados por la letra $mathbb{R}$ , que incluyen a los anteriores y agregan todos los demás, por ejemplo $sqrt{2}$ , $pi$ , etc. etc.

Como se puede ver, cada uno de los conjuntos de arriba es infinito, es decir que no puedo decir cuántos elementos tiene. Si alguien me dice que tal conjunto tiene n elementos, y me muestra una lista, yo siempre voy a poder encontrar un elemento “n+1”. Es interesante entonces ver cómo se trabaja con conjuntos que son infinitos; existe una historia conocida como “Hotel de Hilbert” que cuenta lo siguiente:

“Había un hotel que tenía infinitas habitaciones. Un día llega un nuevo huésped para alojarse allí, pero el conserje le dice que tenía mala suerte, que estaban todas llenas. El huésped, indignado llama al gerente, y le pregunta cómo era posible en un hotel con infinitas habitaciones. El gerente le da la razón, pero dice que no puede hacer nada, entonces el huésped responde rápidamente: ‘ya se lo que se puede hacer; al que esté en la habitación 1 lo manda a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 3 y así sucesivamente, entonces la habitación 1 quedará libre para mi.’ El gerente encontró maravillosa esta solución y así lo hizo.

“Algunos días después llega otro huésped y pide de alojarse, a lo que le responden que el hotel estaba lleno, pero que no se preocupara, que sabían cómo solucionarlo. Entonces este huésped dice que había un problema, que él no estaba solo, sino con un grupo de amigos… y que era un grupo infinito. El gerente, otra vez consternado no sabía qué hacer, pero el huésped, también muy hábil, le dice que no se preocupe, que mande al de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6 y así sucesivamente. De esa forma todas las habitaciones con números impares quedarían libres para sus infinitos amigos.”

Esta bonita historia, que si bien parece tirada de los pelos está mostrando 2 propiedades muy importantes de los conjuntos infinitos. Primero, que al agregar un elemento al conjunto infinito (primera parte de la historia) el infinito no se modifica. El hotel sigue siendo el mismo y con la misma cantidad de habitaciones. Lo mismo habría sucedido si se agregaban 10, 20, 30, … elementos (bastaba mandar al huésped de la habitación 1 a la 11, 21, 31, etc.) La segunda parte muestra que agregar infinitos elementos al conjunto tampoco modifica la cantidad total. Al mismo tiempo muestra algo muy peculiar, y es que la cantidad de habitaciones pares (o impares) en el hotel es la misma que la cantidad de habitaciones totales. En general uno estaría tentado a pensar que la parte es siempre menor que el todo, pero para un conjunto infinito esto estaría fallando. Es de aquí de donde surgieron las sospechas de los matemáticos, que llevaron a una teoría sobre los infinitos y a un desarrollo de la matemática verdaderamente sorprendente.

Algo que estamos muy acostumbrados a hacer es a contar. Cuando uno va al supermercado, por ejemplo, y compra 5 manzanas, cómo hizo para saber que eran 5? Simplemente colocó a cada una de las manzanas al lado de un número natural (en lenguaje técnico hizo una biyección entre los elementos de dos conjuntos) y se fijó cuál era el mayor. Este mismo método para contar lo podemos trasladar a conjuntos infinitos. Es decir que lo que intentaremos hacer es construir una relación entre los números naturales y los demás, demostrando de esa forma que hay tantos naturales cuanto enteros, etc. etc.

Es fácil ver (en el ejemplo del hotel) que hay tantos naturales como naturales pares, o naturales impares. Basta a cada natural n asignarle el número 2n+1 o 2n-1. De esa forma no quedará ni natural ni par (o impar) libre, cada uno estará ligado a otro. Con los enteros es el mismo caso, ya que basta ordenarlos de una manera inteligente para que se los pueda “contar”, por ejemplo:
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ….
De esa forma también podremos asignarle a cada natural un número entero y viceversa.

Por esto se puede decir que generar una biyección es la forma de controlar si ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos, el mismo infinito. El siguiente paso sería ver si de la lista de conjuntos de números de arriba (o alguno que se les pueda ocurrir), alguno tiene más elementos que otro, así se habrá probado que efectivamente no todos los infinitos son iguales.

La semana que viene vendrá la resolución completa, que por cierto ya algunas personas mencionaron en los comentarios, sólo que sin explicar demasiado.

Actualización 11/06/2008: Se encuentra disponible la solución.

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Tags: conjuntos, infinitos, matemática, quiz, subconjuntos
Comentarios (10) | Trackback

Comentarios

Muy interesante el post, me lo devoré.

#1 | Escrito por SmellWing | 06 jun 2008 22:16:13

aqui_c, llegaras a notar que en medida a que el conjunto que muestras crece, disminuye la diferencia entre la cantidad de personas que se añaden, es decir, digamos que el hotel tenga capacidad para 500 personas, entonces la entrada de cada persona supondra una diferencia significativa, ahora, digamos que posees capadidad para 50000, cada persona sera muy poco para llenar la capadidad del hotel, pero si ingreso grupos de 1000 personas si deberia empezar a preocuparme, ahora digamos que tengo capacidad infinita, entonces una cantidad grande siempre sera despreciable a la hora de cubrir la capacidad, pues esta es infinitamente grande, incluso si ingresas infinitos personas todavia sera despreciable, pero siempre existira una diferencia (por muy pequeña que esta fuese) inclusive podria decirte que la diferencia entre la infinita capacidad de personas que posee tu hotel menos la infinita cantidad de amigos es INFINITO, pero cualquiera de estos no son iguales, pues existe una diferencia (en tu caso, ingresaron varias personas antes del ingreso de las infinitas personas)…
con esto concluyo… que existen diferentes infinitos, pero no podemos necesariamente deducir, que sean mayores, iguales o menores

#2 | Escrito por tenguman | 07 jun 2008 00:52:29

"la diferencia entre la infinita capacidad de personas que posee tu hotel menos la infinita cantidad de amigos es INFINITO,"

En un principio no es "legal" restar infinitos.

"que existen diferentes infinitos, pero no podemos necesariamente deducir, que sean mayores, iguales o menores"

Con esto de "infinito mayor" no nos referimos a que tenga un "mayor tamaño" o "mas cantidad" ni nada por el estilo… Simplemente es que alguien se dio cuenta de una simpatica diferencia entre infinitos…
Hay un infinito de elementos que se puede ordenar (a cada elemento lo puedes etiquetar con un "numero natural" (unico e intransferible :P)), mientras que otros conjuntos de elementos NO se puede hacer esto. Si intentas etiquetar cada elemento… de la nada te aparecera otro elemento que NO habias etiquetado.

El claro ejemplo, los numeros reales.
(y para que parezca mas profesional… no me voy a fijar nisiquiera en todos los reales… solo en los reales entre 0 y 1)
Supongamos que [0, 1] es uno de estos conjuntos numerables, asi que los podemos ir colocando segun los numeros naturales.
Vamos a construir un numero real que NO pertenece a los elementos que hemos listado.
Cogemos el 0 y le añadimos el primer decimal, para hacerlo vamos al elemento 1 y si el primer digito es 5, a nuestro numero le ponemos 4; y si no es 5, le ponemos 5.
Ahora vamos con el elemento 2, nos fijamos en el segundo digito. Si el digito es 5, a nuestro numero le añadimos el digito 4; Si no es 5, le ponemos 5.
Y asi…

Al final tenemos que el numero que hemos construido no pertenece a la lista (siempre tiene al menos un digito diferente). Una contradiccion con que R es numerable, y por tanto NO lo es.

#3 | Escrito por ryochi | 07 jun 2008 09:01:39

Estudio informática en Málaga y según hemos visto en Teoría de Autómatas existen al menos 2 tipos de infinitos: infinitos numerables e infinitos no numerables.
Un conjunto es infinito numerable si se puede establecer una biyección con los números naturales(creo que esto lo comentan más arriba).
Por contra es infinito no numerable si no puede darse dicha biyección. Por poner un ejemplo el conjunto de los reales es un conjunto infinito no numerable ya que 7,123 es diferente a 7,1231 y este diferente a 7,12312.
Es decir, si intentaramos incrementar en una unidad el 7 de los numeros reales tendríamos que dar infinitos pasos del tipo 7,00…001 - 7,00…002 - 7,00…003.
Por tanto existenten infinitos conjuntos infinitos en cada unidad.
Espero haber acertado y que me entendais.

#4 | Escrito por ertonio | 07 jun 2008 10:44:46

Pero la pregunta sigue siendo.

Mayores?

Y la respuesta sigue siendo: No.

#5 | Escrito por daver | 07 jun 2008 13:29:09

esq decir que un concepto inventado usado para referirse a algo inacabable (algo fuera de la comprensión humana), que los hay mas grandes y mas pekeños… contradice la propia definición por mucha demostración matematica que me pongan en las narices xD.

#6 | Escrito por Yevon | 07 jun 2008 22:08:13

Si entre el 1 y el 2 hay infinitos racionales..

entre 1 y 4 habrá infinitos, pero habrá el doble!
vamos, eso es lo que siempre nos han contado jaja

#7 | Escrito por ABS | 08 jun 2008 21:25:15

Existe un infinito que podría ser el considerado "normal", es el llamando "infinito numerable" o "Alef0" y corresponde al cardinal de elementos de N (números naturales) que coincide con el de Z (enteros) y con el de Q (racionales) pero que es inferior al cardinal de "partes de N", P(N) conjunto formado por todos los subconjuntos de N. Por la hipótesis del contínuo, este cardinal coincidiría con el de R (números reales) y sería el siguiente infinito, "Alef_1". Por tanto sí que existen distintas categorías de infinitos, o unos infinitos menores que otros. Todo esto se estudia en la teoría de los "transfinitos" o algo así, y la aritmética que cumplen es diferente a la que estamos acostumbrados.

Hasta aquí mis conocimientos seguros, lo que creo además que si tienes un conjunto cuyo cardinal es Alef_n, llamémoslo por ejemplo M, el cardinal de P(M) es otro Alefm con m mayor que n.

Repito, esto es una simple conjetura.

#8 | Escrito por matematicas | 10 jun 2008 09:54:02

#3 | Escrito por ryochi | 07 jun 2008 09:01:39

tienes razon, no es correcto restar ni hacer caulquiero operacion con los infinitos, pues estos al carecer de un valor no podrian dar un resultado logico… solo lo puse para ejemplificar :P

#9 | Escrito por tenguman | 10 jun 2008 19:13:08

Tercera vez que escribo esto y no aparece. Espero que ahora si.

El problema se produce porque la relación R aplicada a conjuntos:

A R B ssi A es subconjunto de B

es una relación de orden. En cambio, la relación S aplicada a conjuntos:

A S B ssi #A menor o igual a #B

no es una relación de orden. Es decir, NO se puede decir desde ahi que A es menor que B, ni nada parecido. Solo que #A es menor que #B.

#10 | Escrito por cfernan | 11 jun 2008 17:43:26

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