« Cómo funciona el Zodíaco

Portada

Células madre frenan enfermedad nerviosa »

05 junio 2008

Quiz Genciencia: Infinitos

Infinito

Es una pregunta simple: ¿Existen infinitos más grandes que otros?

Estas cuestiones despertaron el interés de grandes mentes, desde Arquímedes hasta Russel. Lo que os propongo es reflexionar un poco sobre la posibilidad de que existe efectivamente un infinito “mayor” o “menor” que otro.

La respuesta será dada la próxima semana.

Actualización 6 de Junio: está disponible una “pequeña” ayuda en este post. La respuesta definitiva será dada la semana que viene.

Actualización 11 de Junio: Se encuentra disponible la solución.

Más noticias sobre: Quiz Genciencia
Tags: infinito, quiz
Comentarios (38) | Trackback

Comentarios

Si, pues, por ejemplo, el infinito de los números naturales es más pequeño que el de los enteros, siendo ambos infinitos.

#1 | Escrito por ddr | 05 jun 2008 17:43:37

Si, pues el conjunto de los números naturales es más pequeño que el de los números enteros, siendo ambos infinitos

#2 | Escrito por ddr | 05 jun 2008 17:45:59

No porque infinito no un numero que pueda medirse por lo tanto no hay infinitos mas grandes que otros.

#3 | Escrito por kronowar | 05 jun 2008 17:58:36

Cualquier número tiene su igual con número negativo. Uno y el otro hacen dos números. Es decir, +infinito y -infinito darán lugar a infinito(R) que será el doble de grande que esos infinitos, aunque parezca ironico xD

#4 | Escrito por Makin | 05 jun 2008 18:49:01

En teoria si, pero en realidad no… el infinito es unico, sea grande o pequeno es infinito

#5 | Escrito por Curian | 05 jun 2008 18:53:32

En el ejemplo de los naturales y enteros, quizá se cometa un error de concepto: no es que el infinito de los números naturales sea menor al de los enteros, es que el conjunto de los números naturales es menor porque contiene menor número de elementos, en pocas palabras, podemos empezar a contar los elementos de cada conjunto y siempre tendremos el doble de enteros que de naturales (por existir 1 y -1, 2 y -2, etc), aunque nunca terminemos de contarlos. Esto no justifica que un infinito sea más grande que otro. Ahora, a la pregunta original: en mi opinión, no hay infinitos más grandes que otros.

Saludos.

#6 | Escrito por Carlos Herrera | 05 jun 2008 18:54:34

Se refieren, por ejemplo:

¿A la cantidad de números fraccionados dentro del 1 y el 2, como menor a la cantidad de números fraccionados dentro del 1 y el 3?

¿Es una cantidad infinitamente menor una de la otra?

#7 | Escrito por artemioestrella | 05 jun 2008 18:57:09

Una muy buena pregunta… Habría que hacersela a Dios… jajaja. Intuitivamente uno diría que sí… pero en la práctica…

#8 | Escrito por Terox | 05 jun 2008 19:08:39

Normalmente infinito aparece como resultado de operaciones con series de valores (en adelante para este texto valores) que tienden a un número (o sea, que son casi casi ese número, pero no lo llegan a ser).

La versión abreviada es que ya que ningún valor o serie de valores llega a ser nunca igual a infinito porque ningún valor puede ser igual a infinito (sino que se aproxima a él), no hay infinitos más grandes que otros.

La respuesta más enrebesada… Por ejemplo, si x->0 (x "tiende a" cero, o sea, si es "casi" cero), entonces y=1/x "tiende a" infinito, pero NO ES IGUAL a infinito. 1/x con x=0 no tiene solución (o sea 1/x NO es igual a infinito).

Lo de que se hable de distintos ordenes de magnitud de infinito viene de que si y tiende a infinito, y y*y (o y+y o y^y u otros muchos ejemplos) es mayor que y, entonces tenemos que y*y tiende a un infinito más grande (infinitas veces infinito).

Mi opinión es que no hay que olvidar que y NO es infinito, sino que tiende a infinito, y que y*y también tiende a infinito, yo creo que ambos y o y*y, incluso y^y tienden al mismo infinito.

Al fin y al cabo infinito NO es un número, sino una idea, un sustituto de decir, que si yo tengo un número siempre puedes encontrar uno más grande. La idea es única.

De hecho si xa->0 y xb->0 ahí va otra pregunta: si sabemos que 0-0=0 (cero menos cero es cero) y x-x=0, entonces que pasa si hacemos xa-xb o bien (1/xa)-(1/xb), aunque 1/xa o 1/xb tiendan a infinito o xa o xb tiendan a cero, no podemos decir que ninguna de las dos operaciones resulten cero salvo que digamos que xa=xb.

Así que en resumen, ya que ningún valor puede ser infinito, sino tender a él, no tiene sentido decir que hay infinitos más grandes que otros, sino decir que hay valores enormes, que tienden a infinito más rápidamente mayores que otros que tienen a infinito más lentamente.

#9 | Escrito por Santi | 05 jun 2008 19:16:54

Si, es como cuando resolvemos la indeterminacion en limites de infinito partido infinito (con derivacion utilizando el teorema de lopital o por cocientes con un grado mayor)
Aunque quizás aqui se deba a cocientes y elementos abstractos por lo que ¡huy que fallo!
xD

#10 | Escrito por Alex.S | 05 jun 2008 19:32:13

Definitivamente es un poco lío el tema porque infinito es algo "no numérico" (eso creo yo).

#11 | Escrito por Santi | 05 jun 2008 19:48:16

Infinito no es un número, es "una tendencia a no tener fin".

No estoy muy seguro, pero apostaré a que sí puede haber infinitos mayores que otros. Un ejemplo:

Yo tengo un hotel de infinitas habitaciones. Llega un autobús de infinitos pasajeros y cada uno se va a una habitación.
Todas las habitaciones, aparentemente, están ocupadas.
Pero llega otro autobús con infinitos pasajeros, en un principio "no tenemos habitaciones libres", pero no es cierto: si pido a cada inquilino que se traslade a la habitación de número igual al cuadrado en la que se encuentra (1-pasa a->1, 2-pasa a->4, 3–>9, 4–>16, 5–>25, etc) resulta que tendré infinitas habitaciones libres y los nuevos turistas sí tendrán una habitación cada uno.

Siendo el número de habitaciones mayor que el número de ocupantes, a pesar de ser ambos infinitos. El infinito de las habitaciones tiende a tener menos fin que el infinito de los pasajeros.

#12 | Escrito por surcamares | 05 jun 2008 20:27:30

No hay un infinito más grande que otro porque no hay más de un infinito. Infinito no es un número, es un concepto.

Y realmente, lo importante no es qué es más grande; lo importante es qué crece más rápido. Por ejemplo, x es una función creciente que tiende a infinito, y e^x también. ¿El infinito de e^x es más grande que el de x? Ambos son infinitos. Lo importante es que e^x crece mucho más rápido, por eso decimos que "es mayor".

#13 | Escrito por Iñaki | 05 jun 2008 20:31:17

la unica forma de k un infinito sea mayor ke otro, en mi opinion, es k tenga el signo "-" delante, es decir , infinito > - infinito. fuera de ahi, infinitos del mismo signo siempre seran iguales, puesto k infinito no es un numero, y si no es un numero no puede ser mayor k otro infinito. otra cosa es cuando un numero "tiende" a infinito, komo pasa en los limites, ai la cosa cambia ya k si estamos ablando de numeros kon los kuales si se pede operar.

#14 | Escrito por Krusty | 05 jun 2008 23:07:31

el infinito no es un número, es un límite, una tendencia.

Nunca podría haber algo que tendiese a un infinito más allá que otro infinito…

2 x infinito = infinito

infinito^1000 = infinito
infinito/1000 = infinito

#15 | Escrito por kkikee | 05 jun 2008 23:23:37

Pero la diferencia entre +infinito y - infinito es el sentido que tienen, el punto de vista, en realidad los dos son infinito. En la pregunta yo prefiero no jugármela porque no sé mucho de matemáticas pero estoy de acuerdo con muchas de las respuestas que ya se han dado, que infinito es inifinito, no está cuantificado, no se puede medir y no podemos decir que uno es más grande que otro.

#16 | Escrito por Arandur | 05 jun 2008 23:38:45

Sí, existen infinitos mayores que otros. Lo demostró el gran matemático Georg Cantor en su teoría de los números transfinitos.

Los números naturales y los enteros (incluso los racionales) son infinitos del mismo tamaño. Esto parece ir contra la lógica. Si los naturales son 1, 2, 3, … y los enteros incluyen a los naturales más los negativos (-1, -2, -3,…), los enteros deberían ser más (el doble, como ha comentado alguien) pero no es así.

Cantor encontró un medio de comparar conjuntos infinitos: emparejar sus elementos. Si todos los elementos de un conjunto infinito se puede emparejar con los de otro, es que son iguales.

Los números naturales y los enteros pueden emparejarse unívocamente, por tanto, son conjuntos de igual tamaño, e infinitos.

De hecho, hay tantos números pares como impares (esto parece lógico), pero también tantos pares (o impares) como naturales (o enteros), porque pueden emparejarse.

Si aceptamos esto, puede parecer que cualquier conjunto infinito será del mismo tamaño que el de los números naturales (tamaño que Cantor llamó Aleph-0). Pro el propio Cantor demostró que no es así.

Los números irracionales (como la raíz de 2, o "pi") son más numerosos que los naturales. Cantor lo demostró con el método de diagonalización, que es muy secillo y fácil de entender, pero largo para explicar aquí. Los números irracionales tienen un tamaño Aleph-1: un infinito mayor que Aleph-0.

Cantor llegó a demostrar que podía seguir encontrando conjuntos infinitos aún mayores (Aleph-2, 3, etc) mediante potenciación.

Las teorías de Cantor llevan a algunas curiosas contradicciones y a teoremas imposibles de demostrar (ni de refutar), pero gracias a él, sabemos que no todos los infinitos son iguales.

#17 | Escrito por vicioso | 06 jun 2008 00:01:46

estoy con #13 y mi respuesta es no, no hay infinitos mas grandes que otros

#18 | Escrito por 69man | 06 jun 2008 02:12:36

No. Infinito solo implica ausencia de final.

Todos los infinitos cumplen ese requisito, ergo no existe diferencia de infinitos.

#19 | Escrito por daver | 06 jun 2008 02:23:18

No creo que pueda existir un infinito mayor que otros, porke simplemente son infinitos, si un numero infinito es positivo cuando lo pongan al lado de un negativo seria 0. Por lo tanto no creo que pueda haber un infinito mayor que otro, ya que los 2 son infinitos.

#20 | Escrito por throla | 06 jun 2008 02:28:22

¡Añade tu comentario!