Productos Matriciales

Existen ciertos problemas matemáticos donde es necesario usar herramientas matemáticas para resolverse rápidamente. Esto ocurre en problemas donde nos piden unos resultados que requieren una cantidad de operaciones aritméticas básicas previas bastante grandes (algunas excesivas). Para ello es importante conocer métodos o teoremas que nos ayudarán a resolverlos con sencillez. Hoy os voy a proponer un problema bastante curioso, donde estoy seguro que se generará respuestas bastante interesantes.

Sea Matriz , calcular y explicar el procedimiento:

a) M2 y M4
b) M2006

Nota: Para el apartado b) no es necesario realizar 2005 productos matriciales.

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Comentarios

no se si estará correcto, pero hice el algoritmo para M^2 y me dio que:
M := (a a)
(-a a)
…
M^n := (0 na^n)
(na^n 0)
Saludos!

#1 | Mcloud | 28 ene 2007 08:12:59

No lo recuerdo muy bien pero, creo recordar que basta con calcular los primeros resultados de M^n, hasta que el primer resultado se repita, puesto que los resultados son cíclicos.

Igual se me ha ido la olla, las mates nunca fueron lo mío :P

#2 | Escrito por Marc | 28 ene 2007 12:07:01

Creo que lo he solucionado:

Enlace a la explicación

El método que dice Marc es el de inducción, no sé si se podría hacer para valores enteros de N, pero el método que he seguido yo es para cualquier valor de n real.

De todas formas,Alfonso Jimenez, te has pasado un poquitín con el problema, habría que saber matemáticas de nivel de ingeniería para sacar la solución bien.

Aunque ya digo… no sé si lo he hecho bien o me he ido por los cerros de úbeda que no tenían nada que ver…

#3 | Palafox | 28 ene 2007 12:26:41

Primeras potencias de M:
M^2=( 0 1)
(-1 0)
M^4=(-1 0)
(0 -1)
M^8=M^16=M^32=…=M^512=M^1024=(1 0)
(0 1)
M^2006=M^1024*M^512*M^256^*M^128*M^64*M^16*M^4*M^2
M^2006=(1 0)*M^4*M^2=(0 -1)
(0 1) (1 0)
si no me he equivocado.
Saludos y felicidades por vuestra web.

#4 | Ramon | 28 ene 2007 13:14:24

En mi comentario anterior, los paréntesis de las líneas inferiores salen desplazados. Para ver la matriz correctamente, hay que desplazarlos a la derecha, debajo de los de la línea superior.

#5 | Ramon | 28 ene 2007 13:16:54

Os equivocais en parte. Lo que habria que hacer es calcular la matriz reducida de gaus para hayar su inversa, luego calcular la matriz diagonal y la regular, y simplemente luego se aplica una ecuacion del tipo P^(−1)·M·P = D, se despejaba M,
M = P · D · P^(-1), y ahora lo unico que habria que hacer es elevar a 2005 o 2006, o la cifra deseada la matriz diagonal, con lo que hariamos muchisimos menos calculos

#6 | Victor Martin | 28 ene 2007 16:01:25

Victor Martin, eso estaría bien si la matriz tuviera autovalores reales y distintos, pero es que la matriz que tratamos tienen autovalores complejos, y el procedimiento es algo distinto. Lo he comprobado y mi solución es correcta que además, coincide con la de Ramon.

#7 | Palafox | 28 ene 2007 16:08:42

Palafox: Tu solución es correcta, pero hay otro método usando aritmética modular (usando M8 = I). La solución de Ramón está muy cerca, aunque se puede describir de una manera más rigurosa.

Saludos!

#8 | Escrito por Alfonso Jiménez | 28 ene 2007 17:25:55

Estoy de acuerdo con Palafox, como M^8 = I, siendo I la matriz Unidad, y dado que se cumple que I*A=A*I =A, siendo A una matriz cualquiera, entonces:

M^2006= M^(250*8)*M^6=I*M^6=M^6

Como M^6=(0 -1)|(1 0), entonces

M^2006= (0 -1)|(1 0)

Saludos a todos.

#9 | Txus | 29 ene 2007 17:35:34

Es sencillo tendiendo en cuenta que se trata de una matriz de rotación correspondiente a un ángulo de 45º en el sentido de las agujas del reloj. Las potencias de la matriz se corresponden con rotaciones de ese ángulo compuestas una detrás de otra.

#10 | odo | 30 ene 2007 12:47:21

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