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14 septiembre 2006

Demostración matemática falsa

Matemáticas Mediante una serie de pasos lógicos partiendo de un conjunto de premisas podemos demostrar la validez lógica de una tesis. Evidentemente los pasos deben de estar cimentados por axiomas o teoremas, la cual queda demostrada su veracidad anteriormente. No existe ninguna demostración general para un caso cualquiera, aunque existen muchas técnicas o procedimientos que nos ayudan a demostrar la veracidad (o falsedad) lógica de una hipótesis, como la Inducción Matemática, la Reducción al Absurdo, la Demostración por Construcción, la Demostración por Contraejemplo, Demostración por Agotamiento (también conocida como Fuerza Bruta) ... Cómo he dicho anteriormente, los pasos para realizar una demostración deben de estar fundamentados y ser dogmáticos, pues como decía Bertrand Russel, a partir de un enunciado falso se puede deducir cualquier cosa. Y prueba de ello, vamos a demostrar que 2=1.

a = b
a² = ab
a² - b² = ab - b²
(a - b)(a + b) = b(a - b)
a + b = b
b + b = b
2b = b
2 = 1 !!!

Si nos fijamos en el razonamiento lógico que hemos construido, en el paso número 5 se ha dividido los dos miembros entre (a – b). Como a=b (son iguales), la resta de las dos variables resulta 0. Por lo tanto se ha cometido un error algebraico en los cálculos, pues la división por 0 es una operación no definida. Por lo tanto el razonamiento lógico que resultaba que 2=1 no es una demostración válida.

Otros ejemplos de los errores más comunes que se cometen al realizar razonamientos lógicos son la confusión de signos (considerar algo negativo en vez de positivo y viceversa), uso de propiedades matemáticas donde no son válidas (principio de raíces cuadradas, ley asociativa, ley distributiva,...), etc

Se cuenta que en una ocasión el filósofo y matemático Bertrand Russell estaba especulando sobre enunciados condicionales y sosteniendo que un enunciado falso implica cualquier cosa un filósofo escéptico le preguntó: “¿Quiere usted decir que si 2 + 2 = 5, entonces es usted el Papa? Russell contestó afirmativamente demostrándolo del siguiente modo: “Si suponemos que 2 + 2 = 5, entonces seguramente estará usted de acuerdo en que si restamos 2 de cada lado de la ecuación, nos da 2 = 3. Invirtiendo los términos, tenemos que 3 = 2 y restando 1 de cada lado, nos da 2 = 1. De modo, que como el Papa y yo somos dos personas, y 2 = 1, entonces el Papa y yo somos uno. Luego, yo soy el Papa”. De esta forma Rusell enfatiza su afirmación sobre las posibles erróneas conclusiones que se pueden llevar a cabo a partir de una hipótesis falsa. Por ello es muy importante saber qué estamos haciendo en cada momento cuando estamos resolviendo o intentando demostrar algo, pues algo falso puede llevarnos a cualquier parte. Por ello no debemos de dar por hecho nada, pues tomar como verdadero algo no significa que lo sea. El presidente norteamericano Abraham Lincoln propuso en una ocasión la siguiente adivinanza: Si el rabo de un perro se llamase pata, ¿cuántas patas tendría un perro? La respuesta de Lincoln fue: “Cuatro, el llamar pata al rabo no significa que lo sea.”

Matemáticas

Más información | Demostración matemática en Wikipedia
Más información | Demostración 2=1 en Wikipedia

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Comentarios (19) | Trackback

Comentarios

Exacto, tomando como hipótesis un enunciado falso podemos demostrar cualquier cosa, llegar a cualquier conclusión. De hecho esa se puede decir que es la base de reducción al absurdo: para demostrar la validez de un enunciado tomamos como hipótesis la negación del mismo para llegar así a una conclusión que por alguna razón sepamos positivamente que es falsa. En ese caso, es decir, al llegar a algo absurdo, nuestra hipótesis resulta ser falsa. Por tanto el enunciado que queríamos demostrar pasa a ser cierto.

Por cierto, te has dejado un método de demostración que para mí es brillante, aunque es cierto que no es muy conocido. Pronto hablaré de él en mi blog.

Saludos :)

#1 | Escrito por ^DiAmOnD^ | 14 sep 2006 20:22:03

Por cierto, te has dejado un método de demostración que para mí es brillante, aunque es cierto que no es muy conocido.

Si no nos dice cual no aprendemos :P Saludos crack!

#2 | Escrito por Alfonso Jiménez | 14 sep 2006 20:41:29

No es por ser quisquilloso, pero toda la demostración del recuadro es cierta si:

a=b=0

Saludos

#3 | mmux3r | 14 sep 2006 23:27:03

mmux3r el recuadro muestra una serie de pasos, un desarrollo mediante operaciones algebraicas. No es cierto porque en el paso 4-5 se divide entre 0. Espero que lo veas ahora.

Un saludo!

#4 | Escrito por Alfonso Jiménez | 14 sep 2006 23:53:35

Cierto, si no la digo no se aprende :). Sorry.

Me refiero al método del descenso infinito. No me voy a extender explicando el tema porque estoy preparando un artículo sobre ella para mi blog y todavía no lo he terminado, pero es algo así como que con cierta suposición provocamos que deba existir una sucesión infinita en un conjunto donde sabemos que no puede darse.

mmux3r da igual el valor de a y b. Simplemente con que sean iguales el razonamiento "sirve". El fallo está donde ha comentado Alfonso. De hecho si b = 0 (y por tanto a = 0 al ser iguales desde el principio) el último paso no sería válido. Es decir, podemos suponer desde el principio que ninguno de los dos es cero.

#5 | Escrito por ^DiAmOnD^ | 15 sep 2006 02:27:16

A mi parecer el error estar en pensar que A y B son unos valores cualesquiera y no unos valores que cumplen todas esas propiedades

Es como los problemas de ecuaciones de esos de buscar una edad determinada para el padre dandote unos determinados valores. Y puedes llegar a la conclusion matematica que el padre tiene 1 año. Matematicamente estaria bien pero en la realidad seria imposible

#6 | Javi | 15 sep 2006 10:18:42

Una afirmación totalmente verdadera:
1 + 1 = 10

Hablando en binario, claro :-)
He aquí la importancia de que tanto el emisor del enunciado como el receptor escojan el mismo lenguaje. Incluso (mejor dicho, sobre todo) en matemáticas.

(por cierto, ^DiAmOnD^, si alguien quiere ver tu blog seguro que pincha en tu nombre, no hace falta que lo publicites ni que hagas como en la tele "proximamente en mi blog"... patético)

#7 | Juan | 15 sep 2006 11:15:09

Juan hice ese comentario simplemente porque estaba preparando el post que he comentado y me pareció curioso que mientras lo preparaba saliera aquí un post sobre el mismo tema: métodos de demostración. Es decir, si hay alguien a quien le interese este post igual también le interesa el que yo voy a publicar sobre el mismo tema y no lo lee porque no conoce mi blog. Si entra y no le gusta y prefiere no entrar más entá en su pleno derecho.

No sé, hay veces que parece que uno cuando crea un blog tiene que esperar que le encuentren de casualidad, ni siquiera puede hacer un simple comentario sin mala intención. Tampoco es eso

#8 | Escrito por ^DiAmOnD^ | 15 sep 2006 11:48:39

Esa es una demostración obvia...denominada "por el absurdo"...y no se puede dividir por B, porque nos quedamos sin la incognita. si queres saber el valor de b o a hay que restar y como (2b-1b)=0... y 2 y 1 no son 0.. pues b es cero, asi como tambien a. ¬¬'' fin del caso

por cierto que buena la pagina =)

#9 | Escrito por ulu | 15 sep 2006 15:49:09

Demostraciones matématicas falsas

Hacía tiempo, allá por mis tiempos estudiantiles [suspiro], que no recordaba la famosa paradoja de la demostración matemática falsa. El más claro de ejemplo de ello consiste en la demostración, aparentemente correcta, de que “2 = 1″....

#10 | Escrito por DeltaBlog | 15 sep 2006 18:55:12

A que no encuentras dónde está el error matemático

Vía fresqui he llegado a la página de GENCIENCIA en donde se expone uno de los errores algebraicos, que sino el más famoso, por lo menos uno de los más curiosos. El cuento es que al final de la deducción resulta que 2=1. En dónde está el error...

#11 | Escrito por tecnoticias | 15 sep 2006 23:44:44

wenas.
me encanta este problema-demostracion con fallo planteado mi profesor de mates nos lo planteo el año pasao uno de los primeros dias de clase. con esto nos kiso decir ke nose puede dividir para cero por ejemplo x*(x-1)=0
hay ke tener en cuenta ke x=0 aparte de 1
bueno enorabuena alfonso por tu blog

#12 | kibi | 17 sep 2006 13:56:00

Descenso infinito: un método de demostración poco conocido

Cuando queremos demostrar un resultado contamos con varias maneras de hacerlo: demostración directa, por contrarrecíproco, por reducción al absurdo, por inducción (estas dos últimas las comentamos aquí), por contraejemplo… Dependiendo de c...

#13 | Escrito por Gaussianos | 18 sep 2006 02:58:39

Muy chula. A ver si os sabeis esta:

1 = sqr(1) = sqr[(-1)*(-1)] = sqr[(-1)^2] = -1

NOTA: sqr es la función raíz cuadrada y ^2 es elevado al cuadrado.

Es sencilla pero para vacilar a los amigos de letras está bien.

#14 | Dani | 18 sep 2006 17:37:09

Es q la raiz tiene dos resultados, por eso esta el positivo y el negativo…xD lo que no entiendo es el paso que:

a + b = b
b + b = b

A donde fue la 'a'? de donde salio la 'b'?

#15 | Escrito por Aitor | 11 ene 2007 13:33:14

El error de la demostracion es bastante sencillo.

Consiste en el paso en el que divide por (a-b) y como a=b lo que está haciendo es dividir entre "0", lo cual no está permitido.

Asi de simple.
Saludos

#16 | Beltran | 19 ene 2007 02:53:59

La que dice Gaussianos es una de las mejores, pero no la ha puesto completa (o no puso bien el último corchete):

1 = sqr(1) = sqr[(-1)*(-1)] = sqr(-1)*sqr(-1) = i*i = i² = -1

#17 | JM | 27 ene 2007 20:13:01

simplemente la reduccion al absurdo no nos sirve para establecer un hecho como verdadero, sino para establecer uno como falso, dao el caso en el penultimo paso 2b=b, si b=0 entonces estas confirmando q 0=0, pero si tratas de dividir, creas mas soluciones, osea ((2*0)/0)=0 nos da (infinito)=0 aqui creamos una solucion aparte de q si fuera 0, recuerda q 0/0 no necesariamente es infinito, pues el argumento para q B/0 es usando limites, pero no necesariamente puedes limitar una variable si esta no existe, simplemente en el enunciado se esta indicando q para cualquier valor q no sea 0, existe una paradoja, si aun tienes dudas, si sigues con el razonamiento, estas negando q B=B, pues si B=0, entonces 0/0=0?….

PD: para #17 | JM | 27 ene 2007 19:13:01
cometes el error de sacar raiz cuadrada a dos valores a multiplicar, no necesariamente la multiplicacion de estos te dara el mismo resultado , un ejemplo sqrt(2*2) no es lo mismo q sqrt(2)*sqrt(2), pues existe una diferencia, aunq infinitesimal segun tu me digas, y en tu caso sqrt(1)*sqrt(-1)sqrt(-1*-1), incluso tu mismo estas llegando a la verificacion para confirmar al llega a i al cuadrado = i

#18 | Escrito por Luis | 28 ene 2007 06:57:45

jejeje sorry, fe de erratas(o de ratas)

…y en tu caso sqrt(-1)*sqrt(-1) != sqrt(-1*-1), incluso tu mismo estas llegando a la verificacion para confirmar al llega a i al cuadrado = i

#19 | Escrito por Luis | 28 ene 2007 06:58:57

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